局所一様収束であって、一様収束でないものの例の証明手段について

質問

D={z∈Ｃ：|z|<1}とする。
D上の関数をfn(z)=z^nとするとき
関数列{fn}が局所一様収束することを示せ。
またD上で一様収束しないことを示せ。

という問題で行き詰っています。
どのような手段で証明すればよいのでしょうか？
ご指導よろしくお願いします。

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

まず、極限関数はf(z)=0
sup(z∈D)|fn(z)-f(z)|=sup(z∈D)|z^n|=sup(z∈D)|z|^n=1
なので、sup(z∈D)|fn(z)-f(z)|→0（n→∞）とはならず、Dでは一様
収束しない。
局所一様収束って、Dに含まれる任意の閉集合上で一様収束することで
したっけ？
Dに含まれる任意の閉集合Sはある閉円盤|z|≦r＜1に含まれる。
よって、sup(z∈S)|fn(z)-f(z)|=sup(z∈S)|z|^n≦r^n→0（n→∞）
従って、fn(z)はSで一様収束、すなわち、Dで局所一様収束する。

お礼

ありがとうございます。大変よくわかりました。