関数列の一様収束

質問

以下の関数列の一様収束の問題を、極限を出してεーδ論法で一様収束だろうと結論が出たのですが、本当にそうなのか分からないので、教えてください。
問題：
[0，1]上で、関数列ｆ_ｎ（ｘ）＝（ｘ＋ｎ）／（２ｎ＋ｘ）
（n=１，２，３・・・）の一様収束か調べよ。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

極限関数はf(x)=1/2
|fn(x)-f(x)|=x/2(2n+x)
これをg(x)=x/2(2n+x)とすると、g'(x)=n/(2n+x)^2>0
なので、g(x)は増加関数で、|fn(x)-f(x)|は[0,1]では
x=1で最大値をとる。
|fn(x)-f(x)|≦1/2(2n+1)
となって、[0,1]全体でxに無関係な式で押さえられ、
1/2(2n+1)→0なので、fn→fは[0,1]で一様収束である。

ε-N論法によるには、1/2(2n+1)＜εより、
n>1/4ε-1/2なので、任意のε＞0に対して、N=[1/4ε-1/2]+1
にとれば、n≧Nのとき、|fn(x)-f(x)|<ε
Nとして、xに無関係なものが取れているので、一様収束
であることがわかる。

ε-Ｎ論法は面倒なので、sup(x∈I)|fn(x)-f(x)|→0(n→∞)

を考えた方が良くない？

回答No.2

ojisan7

不等式で少し変な箇所がありますが、ほぼ、その証明でよいと思います。ただ、Nはどのようにとりましたか？アルキメデスの公理よりε>1/Nとなる自然数Nが存在しますよね。このことさえ書いてあれば、質問者さんの証明によって、一様収束であることが示せたことになるのです。もっと、自信を持って頑張って下さいね。

回答No.1

koko_u

>極限を出してεーδ論法で一様収束だろうと結論が出たのですが
それを書くのだ。

補足

εーN論法の間違いでした。（おおよその概要は以下）
極限値ｆ＝1/2
任意のε、ある自然数Nについて、n＞Nのとき
｜ｆ－ｆ＿ｎ｜＜２ｘ／２（2n＋ｘ）
　　　　　　　＜１／２（２ｎ＋ｘ）
　　　　　　　＜1／n
　　　　　　　＜1／N　　　　　　　　　　
　　　　　　　＜ε
ゆえに一様収束