解析学の極限関数の存在をを示す問題を教えて下さい

質問

解析学の、極限関数が存在する事を示す問題を教えて下さい。
この問題が難しくて困っています。

関数列{fn(x)}を
fn(x)=(1-x^2/1^2)×(1-x^2/2^2)×・・・×(1-x^2/n^2)
※n=1,2,3,・・・
で決める。
この時極限関数lim(n→∞)fn(x)が存在する事を示しなさい。
という問題です。
分からず困っています。教えて下さい。
一応ヒントが書いてあり、
「0<|x|,1についてはそのまま考えてよい。|x|>1の場合はN>|x|を固定し
gn(x)=(1-x^2/N^2)×(1-x^2/(N+1)^2)×・・・(1-x^2/n^2)
(n=N,N+1,N+2,・・・)
の収束から考えると良い」
とあるのですが、分からず困っています

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

１．xが0のとき
　すべてのnに対して　fn(x)=1となる。つまりlim(n→∞)fn(x)=1

２．xが0以外の整数のとき
　|x|=Nとなる自然数Nが存在する。つまりn>Nとすれば fn(x)=0だから
　　lim(n→∞)fn(x)=0

３．0<|x|<1のとき
　任意の自然数Nについて、0<(1-x^2/N^2)<1だから、fn(x)>0は減少数列となり、
　下に有界なので収束する。

４．|x|>1かつ|x|が自然数でないとき
|x|<Nとなる自然数Nが存在する。n>Nとすると３項と同様の論理で
　gn(x)=(1-x^2/N^2)×(1-x^2/(N+1)^2)×・・×(1-x^2/n^2)
　は正の減少数列となり、収束する。

　fn(x)=(1-x^2/1^2)×(1-x^2/2^2)×・・・×(1-x^2/(N-1)^2)×gn(x)
　だから、fn(x)も収束する。

５．結局すべてのxについてfn(x)は収束する。

お礼

本当にありがとうございます
とても助かりました

回答No.2

noname#203782

その収束の位相は？

任意の実数xについて実数列(fn(x))が収束するか問われているのではなくて関数列の収束なんですよね？