極限の問題

質問

極限値は存在するか否か。
(1)lim(n→∞) (1＋1/n＋1)^n
(2)lim(n→∞)(1＋1/n^2)^n
(3)lim(x→0) sinx/|x|

大学で宿題を出されたのですが解法が全く思いつきません。
一体どのように解けばいいのでしょうか？

よろしくお願いします。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

lim[n→∞](1+1/n)^n=e
lim[x→0]sinx/x=1
は当然使えるとします。(というよりも使えないとそこから示さないといけなくなるので面倒)

要するに上の形にしてしまえばOK
{1+1/(n+1)}^n
はn+1=tとでもして見ます。後は指数法則で"a^(t-1)=a^t/a"ですから、それぞれの極限を求め割ればよい。

(1+1/n^2)^n
はn^2=tとでもおく。指数法則で"a^√t=(a^t)^(1/√t)"とでもするのかな。対数をとったほうがわかりやすいかも知れないが。

sinx/|x|
絶対値がある場合は場合わけするしかない。後はx→+0の場合とx→-0で極限値が一致するかが問題。

回答No.1

Willyt

上二つは１/ｎを新たにn と置けばゼロへの収斂の問題になりますね。その上で与式のテイラー展開すればいいのです。3ついてはsinｘに関してテイラー展開します。いずれも定数項が収斂値です。