1階線形7微分方程式

質問

次の微分方程式を解いてください。

　ｙ´－（２X＋１）ｙ＝２Xe^X 　　　積分因子は　　　　e^-(X^2＋X）だと思いますが…
　よろしくお願いします。

回答No.2

akinomyoga

> 早速のご回答ありがとうございます。定数変化法で解かれましたが、積分因子を求めて解く場合と比べると
> どちらが計算は楽でしょうか。

どちらの方法の場合でも、この形の方程式の場合には結局は等価な計算をするわけですが、どちらの考え方の方が楽かといえば結局は慣れなんだと思います。私の場合は、常微分方程式であれば取り敢えず何でも定数変化法を試します。

■積分因子を使って求めるならば:
積分因子を M として、A = My を微分すると、
　A' = M' y + M ((2X+1) y + 2Xe^X)
　　= [M'+M(2X+1)] y + 2MXe^X.
ここで M' + M(2X+1) = 0 となる様に M を選ぶと M = B exp(-X^2-X).
　A' = 2BX exp(-X^2),
　A = -B exp(-X^2) + C,
　y = A/M = -exp X + C/B exp(X^2+X).

■積分
> 特にご回答のあった４行目から５行目にかけてですが、4行目の両辺をｘで積分するのですよね。５行目の右辺の積分ですが、これは部分積分になりますか？

変数変換です: α = X^2,
　A(X) = -∫2X exp(-X^2) dX = -∫exp(-α)dα = exp(-α) + B.

回答No.1

akinomyoga

定数変化法で。
z' - (2X+1) z = 0 を解くと、z = A exp(X^2 + X), (A は積分定数).
ここで y = A(X) exp(X^2 + X) を元の微分方程式に代入して整理すると、
　A(X)' = -2Xexp(-X^2),
　A(X) = -exp(-X^2) + B, (B は積分定数),
　y = -exp X + B exp(X^2 + X)■

お礼

早速のご回答ありがとうございます。定数変化法で解かれましたが、積分因子を求めて解く場合と比べると
どちらが計算は楽でしょうか。
不勉強で途中の計算がわかりません。特にご回答のあった４行目から５行目にかけてですが、4行目の両辺をｘで積分するのですよね。５行目の右辺の積分ですが、これは部分積分になりますか？
　いずれにしましても正解をいただきました。
ありがとうございます。
また、ご指導をお願いします。