２階線形同次微分方程​式

質問

以下の問題の解き方が理解できません。

途中の計算なども詳しく教えて頂けると幸いです。

(1)　２階線形同次微分方程式の関数と，二つの関数y1とy2および初期条件の対が与えられている．最初に二つの関数y1とy2が微分方程式の解であることを確認せよ．次に，初期条件を満たす特殊解を求めよ．

(1) y''-y=0; y1=e^x, y2=e^-x; y(0)=0, y'(0)=5

(2) y''+4y=0; y1=cos2x, y=sin2x; y(0) = 3, y'(0)=8

(3) y''-3y'+2y=0; y1=e^x, y2=e^2x; y(0)=1, y'(0)=0

回答No.1

178-tall · ベストアンサー

いずれも 2 次。
(3) をサンプルに堅実な手口で。
ほかも同様…なので割愛。

>(3) y''-3y'+2y=0; y1=e^x, y2=e^2x; y(0)=1, y'(0)=0

「最初」に「方程式の解であることを確認」
　y1=e^x → y1'=e^x → y1''=e^x　　…(1)
　y2=e^(2x) → y2'=2e^(2x) → y2''=4e^(2x)　　…(2)
　　　　　↓
(1) を原方程式へ代入。
　y''-3y'+2y = e^x - 3e^x + 2e^x = 0　　… OK
(2) を原方程式へ代入。
　y''-3y'+2y = 4e^(2x) - 6e^(2x) + 2e^(2x) = 0　　… OK

一般解は、
　y = C1e^x + C2e^(2x)
　y' = C1e^x + 2C2e^(2x)
らしいから、これに「初期条件」 y(0)=1, y'(0)=0 を代入し、
　1 = C1 + C2　　…(3)
　0 = C1 + 2C2　　…(4)

残務は、(3), (4) から {C1, C2} を勘定すること…だけ。

お礼

詳しく説明していただきありがとうございます。

回答No.3

info22_

>以下の問題の解き方が理解できません。
解き方がわからないのなら、教科書で復習された方がよいと思います。

解き方
>二つの関数y1とy2が微分方程式の解であることを確認せよ．
y1,y2を方程式の左辺に代入して=0となることを示せばよい。

>初期条件を満たす特殊解を求めよ．
　y=C1*y1+C2*y2　...(※)
の式にy(0),y'(0)の初期条件を代入して得られるC1,C2の式をC1,C2の連立方程式として解き、(※)に代入すれば特殊解になります。

やってみて、分からなければ、補足にやったところまでの途中計算を書いて、行き詰まっているところについて質問してください。

お礼

はい分かりました。

回答No.2

178-tall

>いずれも 2 次。

微分方程式では「2 階」というそうで…。

お礼

なるほど