微分積分について（一階線形微分方程式）

質問

この問題の解き方について教えて下さい。

問、曲線y = f(x)上の任意の点P(x , y)における
　　 接線の傾きがPのx座標とｙ座標の和に等しい。
　　 このような曲線のうち原点を通るものの方程式を答えよ。
　　Ans. y=e^x - x -1

（自分の解いたやりかた（答えがどうしても一致しないので間違っているところを教えて下さい。））
dy / dx = x + y・・・(1)
(dy / dx) - y = x
斉次微分方程式(dy / dx) - y = 0を解く
y' = y
変数分離で解くと
y = C e^x (Cは積分定数)
Cをxの関数uと置き換えて
y = u e^x
y' = u' e^x + u e^x
これを(1)へ代入
u' e^x = x
u' = x e^(-x)
∫du = ∫e^(-x) dx
これを解くと
u= -x e^(-x) + e^(-x) - C
y=ue^x=-x + 1 - Ce^x
条件より　C=1
∴y= 1 - e^x + 1

回答No.1

kdaiki211 · ベストアンサー

下から6行目が∫e^(-x)dxではなく∫xe^(-x)dxだと思います.
部分積分の公式を使ってやると
∫du = ∫xe^(-x)dx
=∫x(-e^(-x))'dx
=-xe^(-x)-∫(-e^(-x))dx
=-xe^(-x)+(-e^(-x))
=-xe^(-x)-e^(-x)
∴u = -xe^(-x)-e^(-x) + C

y = ue^x
=-x-1+Ce^x
条件はx=0のときy=0なので
0 = -0 -1 +C が成り立つから
C = 1
∴ y = e^x -x -1

お礼

丁寧に教えていただきありがとうございます。