微分方程式の一般解の求め方

質問

（x + (x^2 + y^2)x^3)dx + ydy = 0 の一般解の解き方がわからなくて困ってます。一見して完全形になるのかと思ったのですが、d(（ｘ＋・・・・）＝０にはならないので完全形ではなく積分因子を導入しなければならないようなのです。積分因子をうまく求める方法はありますか？高等教育で数３を学んでおらず、微分方程式に関してほとんど独学でやってきてるので、できるだけ詳しく教えて下さい。よろしくお願いします。

回答No.2

minardi

適当に、いろいろ積分因子をためしてみてそのなかで
与式に1/(x^2+y^2)をかけて整理すると
(xdx+ydy)/(x^2+y^2)+x^3dx = 0

{(1/2)d(x^2)+(1/2)d(y^2)}/(x^2+y^2)+(1/4) d(x^4) = 0

d(x^2+y^2)/(x^2+y^2)+(1/2)d(x^4) = 0

d(log(x^2 + y^2)+(1/2)x^4)) = 0

となって、うまくいきそうです。

回答No.1

Rossana

Pdx＋Qdy=0が完全微分方程式であれば，微分しない前の関数をuとすればこれはdu=0である．

しかるに，uを微分すれば
du=(∂u/∂x)dx＋(∂u/∂y)dy

ゆえに，
P=∂u/∂x，Q=∂u/∂y
でなければならない．

∴ ∂P/∂y=∂^2u/∂x∂y=∂Q/∂x
すなわち，与えられた微分方程式において
∂Q/∂x=∂P/∂y
の関係が成り立つ時はこの微分方程式は完全微分方程式であると言える．
このとき，P=∂u/∂xだから，これをxについて積分すれば
u=∫Pdx＋C(y) (C(y)はyの関数)
これをyについて微分すれば，
∂u/∂y=∂{∫Pdx＋C(y)}/∂y=Q
これを解いてC(y)が求まり，uが求まるといった流れになっています．

ご質問の方程式では
P=x+(x^2+y^2)x^3=x+x^5+y^2x^3，Q=yであるから
∂P/∂y=2x^3y，∂Q/∂x=0
となり，完全微分方程式ではない．
これは困ったどうしよう…．

でも
∂(MP)/∂y=∂(MQ)/∂x
すなわち
P∂M/∂y-Q∂M/∂x=M(∂Q/∂x-∂P/∂y)
を満たす積分因子が見つかれば，
最初の方程式にMを掛けた
(MP)dx+(MQ)dy=0
は完全微分方程式ですね．

積分因子が満たす方程式
P∂M/∂y-Q∂M/∂x=M(∂Q/∂x-∂P/∂y)
にさっき計算した式を右辺に代入してみます．
P∂M/∂y-Q∂M/∂x=M{(0)-(2x^3y)}
P=x+(x^2+y^2)x^3があると面倒なので，
Mはxだけの関数であり，M>0として計算の単純化を図ります（とにかく条件式を満たすMがなんでもいいから見つかればいいのである．）
すると，∂M/∂y=0なので
-ydM/dx=-2x^3yM
(Mはxだけの関数なので∂→dにしました)
yは任意なのでyで割って整理すると
dM/dx=2x^3M
Mも任意なのでMで割れば
(1/M)dM/dx=2x^3
両辺をxで積分して
ln |M|=(1/2)x^4＋Ｃ (Ｃは積分定数）
∴ M=exp{(1/2)x^4＋Ｃ}　（∵ M>0）
Mはさっきも言いましたが，ほんと見つかればいいので単純でいいんです．だから，Ｃ＝0としてもいいんです．そうすると，
M=exp{(1/2)x^4}
こっからは最初の手順で積分すれば答がでます．
あと自分で補足に解答を書いて下さい．
なんか偉そうに書きましたが，僕自身完全微分方程式は初体験です．
高校で数(3)をやっていないとは文系の方が大学で数学に興味を持って微分方程式を学んでおられるのでしょうか．
独学とは頑張りますね．分からない事があったらなんなりお申し付け下さい．では頑張って下さい．