１階線形微分方程式について

質問

こんばんは。よろしくお願いします。
微分方程式で、下記の

ｙ’／ｙ ＝ α／（１－ｘ）

を解こうと昔の教科書を紐解いているのですが、
一向に進みません。

両辺にｄｘをかけてｙ、ｘで積分して

logｙ ＝ α/2・ｘ^2－αｘ＋Ｃ
　　　　　↓
ｙ ＝ ｅ＾（α/2・ｘ^2－αｘ＋Ｃ）

まで出たのですが、右辺の（）内が２次式になってて
ここで行きづってしまいました。

この後ってどうすればよいのでしょうか？
どうぞ教えてください。

回答No.4

zk43 · ベストアンサー

ｙ’／ｙ ＝ α／（１－ｘ）
は（ｘ－１）ｙ’＋α・ｙ＝０
と変形できます。
両辺に（ｘ－１）^（αー１）を掛けると、
（ｘ－１）^α・ｙ’＋α（ｘ－１）^（αー１）・ｙ＝０
ｙ’、ｙにかかっているものが導関数の関係にあるので、積の微分か
ら、
（（ｘ－１）^α・ｙ）’＝０
（ｘ－１）^α・ｙ＝Ｃ（定数）
ｙ＝Ｃ／（ｘ－１）^α

あるいはｙ’／ｙ ＝ α／（１－ｘ）の両辺をそのまま積分しても、
ｌｏｇｙ＝－αｌｏｇ（１－ｘ）＋Ｃ
＝ｌｏｇ１／（１－ｘ）^α・ｅ^Ｃ
より、ｙ＝１／（１－ｘ）^α・ｅ^Ｃ
となって同じになります。（ｅ^Ｃを新しく定数Ｃとみる。）
正確には絶対値をつけて考えるのでしょうけど。

回答No.3

noname#101087

ミスってました。
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　dy/y = {α/(1-x)}dx
の左辺の積分{Ln(y)} はOK です。
同様にして、右辺も対数関数になるのでは?

回答No.2

noname#101087

dy/y = {α/(1-x)}dx
の左辺の積分{Ln(x)} はOK です。
同様にして、右辺も対数関数になるのでは?

回答No.1

F_P_E

はじめまして。

変数分離するところまではいいのですが、右辺のxの積分を間違えて実行しているのではないでしょうか。

また、どうでもいいことですが、これは線形微分方程式にはなっていないと思います。

がんばってくださいね＾＾