微分方程式

質問

微分方程式の問題です。
y'―(1＋3x^－1)y=x＋2 、y(1)=e－1

p=－(1＋3x^－1)、r=x＋2、h=(pの積分)=－x－3log|x|
とおくやり方でe^h・rの積分でつまずきました(>.<)
どうかお願 いします。

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

1階の線形微分方程式の解の公式を使った訳ですね。e^x＝Exp(x)と書きます（書きやすいので）。

　　Exp(－x－3log|x|)＝Exp(－x)・Exp(－3log|x|)＝Exp(－x)・Exp(log|x|)^(-3)＝Exp(－x)・x^(-3)

までは行ったでしょうか？。ポイントは、Exp(log|x|)＝xです。よって、

　　e^(－x)・(x＋2)/x^3

の積分になります。(x＋2)/x^3を先に積分の方針で部分積分を繰り返せば、1/x^3がx^nとlogxの式になり、それにe^(－x)をかけた項の和になるはずですので、そこまで来れば、各項の積分公式は少し調べれば、出てくるはずです。

お礼

部分積分をしたらなんとかできました！
ありがとうございました！

補足

Exp(log|x|)=xと書いてあるのですが絶対値は外れるのでしょうか？
かしこくなくてすいませんf(^_^;

回答No.2

noname#221368

#1です。

＞Exp(log|x|)=xと書いてあるのですが絶対値は外れるのでしょうか？・・・

　・・・手抜きです(^^；)。すいません。

　Exp(log|x|)=±xが正しいです。理由は、x＜0でlog|x|＝log(－x)，x＞0でlog|x|＝log(x)　だからです。でも、Exp(log|x|)=xの方が出来てしまえば、－xの方は、先の積分結果に「－」をくっつけるだけだ、というのが手抜き理由でした。

　実際上はこれだけの差ですが、しかし解の挙動としては話は別です。問題の微分方程式は、恐らくx＝0で不連続なので実際には、状況に合わせてExp(log|x|)=±xの一方を選択する必要があります。

　それは初期条件で決まります。従って一般解を求めるという目的からは、x＜0とx＞0にケース分けして両方解くのが、最も妥当です。