熱力学の問題です。助けてください

質問

熱力学のレポートです。わからないので教えてください。

1Kgの空気を動作流体とし、高温熱源T＝600K、低温熱源T＝300Kを用いる2種類の熱力学サイクルの計算を行い比較する。

(1)カルノーサイクル（1→2：等温圧縮、2→3：断熱過程、3→4：等温膨張、4→1：断熱膨張）
T１＝300K、P1＝0.1MPa、P2/P1＝2.0、T３＝600Kとする。

(2)等積・等圧過程からなるサイクル（1→2：等圧冷却、2→3：等積加熱、3→4：等圧加熱、4→1等積冷却）状態2と4を(1)と等しくする。

問題１ 各状態の温度、圧力、比体積を求める。
問題2 各過程の受熱量、仕事量、エントロピー変化を求める。
問題3 両サイクルのPーV線図、T-S線図を作成する。エントロピーは最低の状態を0とする。
問題4 サイクル全体のエントロピー変化が0になることを確認する。
問題5 サイクルの正味の仕事と熱効率を求める。カルノーサイクルの理論熱効率と比較し、簡単な考察を考える

回答No.1

jamf0421 · ベストアンサー

空気の形式的モル数を1000/28.8=34.72 molとします。また、2原子分子だから、という理由でCv=(5/2)R, Cp(7/2)R, γ=1.7とします。
とりあえずCarnotサイクルだけ...
初めの状態
P1=0.1 MPa, T1=300K, V1=34.72x8.314x300/0.1x10^6=0.866 m^3
(I)等温圧縮(P1→P2）
貰った仕事;W1=-∫pdv=-nRT1∫dv/v=-8.66ｘ10^4lnV2/V1
V2/V1=P1/P2=0.5であるので
W1=-8.66x10^4xln0.5=6.00x10^4 J（この分だけの熱を放出）
ΔS1=-6.00x10^4/300=-200 J/K(Entropyが下がる）

V2=V1*0.5=0.433 m^3, P2=0.2x10^6 Pa,T2=300 K

(II)断熱圧縮
貰った仕事；W2=CvΔT=Cv((V2/V3)^(γ-1)-1)T2
T3=600であり、かつ
(V2/V3)^(γ-1)T2=T3
であるので
(V2/V3)^0.4=600/300=2
V2/V3=2^0.5=5.657→V3=0.0765
P2V2^γ=P3V3^γ
P3=P2(V2/V3)^γ=0.2x10^6*(5.657^1.4)=2.26x10^6 Pa
即ち
T3=600、V3=0.0765 m^3、P3=2.26x10^6 Pa

(III)等温膨張
やった仕事：W3=-∫pdv=-nRT∫dv/v=-1.732x10^5ln(V4/V3)...(1)
これに対応する熱をもらっているので
ΔS=1.732x10^5ln(V4/V3)/600...(2)
P4=P3(V3/V4)...(3)
T4=T3=600 K

(IV)断熱膨張
やった仕事：W4=CvΔT=Cv((V4/V1)^(γ-1)-1)T4
(V4/V1)^（γ-1)T4=T1
即ち
(V4/V1)^（γ-1)600=300
(V4/V1)^0.4=0.5
V4=(0.5^2.5)*0.866=0.153 m^3...(4)
(4)より
V4/V3=0.153/0.0765=2.00...(5)
(5)を(1)へ代入
W3=1.20x10^5 J(これに対応する熱を貰っている。）
(5)を(2)へ代入
ΔS2=200 J/K(これよりΔS1とあわせてエントロピー変化はない。）
(5)を(3)へ代入
P4=2.26x10^6x0.5=1.13x10^6 Pa
まとめれば
P4=1.13x10^6 Pa, V4=0.153 m^3, T4=600 K

効率；η=（貰った熱ー捨てた熱）/貰った熱=(1.2x10^5-6.00x10^4)/1.2x10^5=0.5(50%)

以上よりCarnotサイクルについて必要な量はでていると思います。
次に(2)の工程ですが、2と4の状態が(1)のそれと等しくする、とあります。
２の状態；V2=0.433 m^3, P2=0.2x10^6 Pa,T2=300 K
４の状態；V4=0.153 m^3, P4=1.13x10^6 Pa, T4=600 K
ところで２から４に行くには等積加熱、等圧過熱をすることになります。等積加熱ではV2=V3=0.433 m^3になり、圧P3>P2、温度T3>T2と値が大きくなります。続いて等圧加熱をやると、P3=P4で、V4>V3=0.433 m^3になります。しかるにCarnotサイクルでのV4は0.153 m^3なのです。何か私が勘違いしているのでしょうか？