熱力学の問題 大学受験

質問

よろしくお願いします。
大学受験問題の熱力学の分野の問題です。

問題
ピストンがあり、二部屋に分かれていて、左がA、右がBです。Aの左には加熱器α、Bの右には冷却器βがとりつけてあります。
A,B内には、気体がnモルずつ入っていて、はじめの圧力、体積、温度はともにP0,V0, T0である。加熱器αから熱を与えると、ピストンは滑らかに動きBの体積は、V0/2となった。この間、冷却器βで熱を奪い、B内の温度はT0に保たれている。気体の定積モル比熱をCvとし、α、β以外は断熱材でできているものとする。
A内の気体の内部エネルギーの増加はいくらか。

解説
A,Bの圧力はたえず等しいことに注目する。---☆
後の圧力をPとして、まずBの気体について、PV=一定よりP=2P0
Aもこの圧力だから、2P0×3V0/2=nRTa
はじめはP0×V0=nRT0
よりTa=3T0

∴ΔUa=nCvΔT---☆☆
＝nCv（ΔTa-ΔT0）=2nCvT0

この解説でわからないところが３つあります。
まず、☆のところですが、どうして、ABの圧力はたえず等しいのでしょうか？Aは温度上昇して、仕事をしているので、圧力もあがっていそうに思います。

二つ目は、☆☆のところで、この式がどこからでてきたのかわかりません。左辺がQならQ= nCvΔTとなると思いますが・・・。
ΔU=W+Qからでしょうか？
でもそうだとすると、W＝０とみなしていることになりますが、体積変化しているので、W=０ではないと思います。

三つ目は☆☆のところで、右辺にCvが使われているのはどうしてでしょうか？
☆☆の式は、Aについて式をたてているのだと思います。
Cvは定積モル比熱だと思いますが、今回の反応は定積の反応ではないと思います。A内は体積が変化しています。にもかかわらず、どうして、定積モル比熱が使われているのでしょうか？

わかりにくいところがあれば、補足させていただきますので、よろしくお願いします。

回答No.2

T-gamma · ベストアンサー

２つ目と３つ目について回答します。

まず「定積モル比熱」の意味を考えましょう。それは「体積を一定状態に保った状態で１モルの物体の温度を１Ｋ(℃)上昇させるために必要な“熱”」です。そう、あくまで“熱”です。内部エネルギーではありません。これについては質問を見る限りgoodoさんも分かっておられますね。
ここからが本番です。例えば温度をＴ１→Ｔ２にしたとしましょう。このとき、体積はＶ１→Ｖ２、圧力はＰ１→Ｐ２とします。
この変化を次の２つのる過程(ルート)で分けて考えて見ましょう。
(a)体積をＶ１の一定に保ち、温度をＴ１→Ｔ２にする。
(b)温度をＴ２の一定に保ち、体積をＶ１→Ｖ２にする。
こうすると、
(a)Ｗ＝０よりΔＵa＝Ｑ＝ｎＣｖ(T2-T1)
(b)理想気体の内部エネルギーは温度のみに依存するので、温度が一定だとΔＵb＝Ｏ

よってΔＵ（全）＝ΔＵa+ΔＵb＝ｎＣｖ(T2-T1)
となります。つまり、「体積や圧力の変化なんか関係なく(定圧変化でも等積変化でもそれ以外のどんな変化でも)温度変化がΔＴなら、ΔＵ＝ｎＣｖΔＴは成立する」ってことです。実はこの話は理想気体にしか通用しないのですが、大学受験の物理で実在気体を考えることなんてまずないので、安心していつでもΔＵ＝ｎＣｖΔＴを使って下さい。
まとめると、Ｃｖで「等積」を意識するのはＱのとき。ΔＵは「等積」である必要はありません。

ちなみに、単原子分子ではnCv=(3/2)Ｒであり、有名な
ΔＵ＝(3/2)nＲΔＴ
って式が成立します。こちらは“単原子分子”にしか通用しないのでご注意を。

参考URL：

２う

お礼

御回答ありがとうございます。
自分もおんなじようにしてみました。
ΔU全＝nCv(T2-T1)になりました。これは、この公式の証明だったんですね。この公式テキストにあったのですが、よくわからなくて、読み飛ばしていました。
これはどんな変化でも通じるのですね。
よくわかりました。ありがとうございます。

回答No.1

ElectricGamo

一つ目ですが、“ピストンは滑らかに動き”というのがポイントでして、実際はAとBの圧力が違うからピストンが動くわけですが、“滑らか”ということは無視できるぐらい小さい圧力差でもピストンが動いて釣り合いの位置に達するわけで、その結果としてAとBの圧力の違いはなくなる（無視できるぐらい小さい圧力差が無視できるぐらい）、つまりたえず等しいとなるわけです。

二つ目と三つ目ですが、結論だけ言うと、内部エネルギーの増分は nCvΔT と書けるからです。体積が一定であれば Q=ΔU=nCvΔTと書けますが、体積変化しているのでQ=nCvΔTとは書けません。このあたりは熱力学の本を見れば載ってますので説明は省略させてください。

また、Cvというのは定積比熱ですが、変化自体が同一体積で起こらなければいけないということではありません。体積一定における比熱 Cv を求めることが出来たら、それを用いて内部エネルギーの変化を nCvΔTで計算できると言っているわけです。変化の最中に体積が変ろうが圧力が変ろうがどうでもよくて、温度変化と定積比熱のみで書けるのが肝心なところです。（同様に、エンタルピの変化ΔHはnCpΔＴで書けるわけですが、変化の途中で圧力が一定である必要もありません。）

お礼

御回答ありがとうございます。

テキストを見直すとΔU=nCvΔTは任意の変化で成立、と書いてありました。式がたくさんあったり、わからなかったりで、ちょうど読み飛ばしていたところに書いてありました。すみませんでした。

またピストンについても、ピストンが滑らかに動くときには、圧力は等しい、と他の問題にありました。

勉強になりました。教えていただき、ありがとうございました。