熱力学、ポアソンの公式の導出に失敗

質問

2ch物理板では回答が得られず流れたのでこちらに投稿します。

熱力学の話です。
ポアソンの式TV^（γ-1）=Const.の証明をしようとしましたが、明らかに間違った式が出てきたのでツッコミお願いします。

状態方程式PV=nRTを微分して、PdV+VdP=nRdT
断熱過程における熱力学第二法則　0=ΔU+Wout 微分形にして　0=nCvdT+PdV（Cvは定積モル比熱）
二式の和は VdP=n（Cv+R）dT=nCpdT（Cpは定圧モル比熱、マイヤーの関係を用いた）…(1)
また、状態方程式からP=nRT/V　両辺微分してdP=-nRTV^（-2）dV
これを(1)式に代入し、-nRTdV/V=nCpdT
すなわち （R/Cp）dV/V+（dT/T）=0
この微分方程式を解いて、TV^（R/Cp）=Const.

正しいポアソンの式の導出はとりあえず把握しましたが、上記のどこが間違っているのかわかりません。ご教授ください。

回答No.2

jamf0421

No1さんの御指摘のところが問題です。そこで変数Tを定数にしてますね。そんな計算は触らないでやりましょう。そもそも途中が迂回しすぎです。（1 molで考えて）
0=CvdT+PdV
ですから
CvdT=-PdV
P=RT/Vを代入し
CvdT/T=-RdV/V
これを積分すれば
Cvln(T2/T1)=-Rln(V2/V1)
ですからお望みのところへたどり着けるはずです。

回答No.1

ojisan7

>状態方程式からP=nRT/V　両辺微分してdP=-nRTV^（-2）dV

両辺をどんな変数で微分したんですか。変数はP,V,Tの３個ありますよ。

補足

Tで微分した後、両辺にdTを乗じた積りでした。
すると、dP=-nRTV^（-2）dV
でTも変数であることを忘れたのが原因ですね。
正しくは、
dP=nRdT/V-nRTV^（-2）dV
となるはずで、
質問に書いたとおりdPに代入すると
nRdT-nRTdV/V=nCpdT
整理して、
（R/Cv）dV/V+（dT/T）=0
これは明らかに正解ですね。ありがとうございます。