公務員の数的処理の問題でわからないので教えてくださ

質問

ある円に内接する正六角形と、外接する六角形の面積比はいくらか。

円の直径を4にしてやってみて
内接のは６/￣３ってでたんですが

外接がわかりません。

回答No.2

yyssaa

＞円の直径を4とするなら内接六角形は1辺が2の正三角形6個に分割出来、
1辺が2の正三角形の高さは√3。
外接六角形は高さが2の正三角形6個に分割出来る。
両正三角形の相似比は√3:2。面積比は相似比の二乗比だから
内接六角形の面積:外接六角形の面積=3:4・・・答

回答No.1

noname#212313

円の半径をrとします。以下、正六角形が正三角形6個より成ることを使います。二つの正六角形の面積比は、正三角形の面積比でいいということです。

１．内接する正六角形

　1辺がrの正三角形6個より成るわけですから、その正三角形の面積を考えてみます。正三角形の高さaはピタゴラスの定理（三平方の定理）より、

　a=√{r^2-(r/2)^2}=√(3r^2/4)={(√3)/2}r

となりますから、正三角形の底辺がrであることを使って面積は、

　(1/2)ra={(√3)/4}r^2　―(1)

２．外接する正六角形

　高さがrの正三角形6個より成るわけですから、その正三角形の面積を考えてみます。正三角形の底辺bはピタゴラスの定理より、

　b^2+(b/2)^2=r^2　∴(5/4)b^2=r^2　∴b=√(4/5)r=2√(1/5)r

となりますから、正三角形の面積は、

　(1/2)br={√(1/5)}r^2　―(2)

　二つの正六角形の面積比は、二つの正三角形の面積比でよいので、(1)(2)より、

　{(√3)/4)}r^2：{√(1/5)}r^2
=(√3)/4)：√(1/5)
=(√3)/4)：(√5)/5　←分母を有理化
=5√3：4√5　←両方を20倍にしても比としては同じ