公務員試験の数的処理の解き方を教えて下さい！

質問

数的処理（算数）の問題で解き方が分からないものがあります。
どなたか解法を教えて頂けないでしょうか？
正解は12.5cmと分かってるのですが…

以下問題です。
長方形A、長方形B、正方形Cの三つの図形を重ねることなく組み合わせて、面積が300平方cm、対角線の長さが25cmの長方形を作る。
長方形A、長方形Bの短辺同士の長さの比が1:3、長辺同士の長さの比が5:6であるとき、正方形Cの一辺の長さはいくらか。

本番までに解けるようにしたいので、どなたかよろしくお願いします！

回答No.3

shuu_01

解くことは解けたのですが、とてもスマートとは言えず、計算が大変でした

でも、一応、回答します

【１】組み合わさった長方形の短辺の長さ x cm、長辺の長さ y cm とおきます
　　　x^2 ＋ y^2 ＝ 25^2
　　　x y ＝ 300

　　　上記を変形して、(x/5）^2＋（y/5）^2 ＝ 5^2
　　　（x/5）（y/5）＝ 12

　　　これを見ると、辺の長さの比 ３：４：５ の直角三角形ですので、
　　　x / 5 ＝ 3、y / 5 ＝ 4
　　　x ＝ 15、y ＝ 20　となります
　　　（もちろん、真面目に計算してもかまいません）

【２】 ３つの四角形の組合せ方
（１）正方形が組み合わさった長方形の短辺と重なる場合、
　　　残りの 5 X 15cm を 長方形 A、B を組み合わせて
　　　作ることになります
　　　長方形 A、B の短辺、長辺の長さが違うので、
　　　長方形 A の長辺と B の短辺が一致することになります
　　　長方形 A の短辺の長さを a cm、長辺の長さを b cm
　　　とすると、B の短辺は 3a cm、長辺は （6/5）b cm
　　　b ＝ 3a となり、
　　　長方形 B の長辺の長さは （18/5）a cm
　　　長方形 A と B 組み合わせた長方形の短辺は 3a cm、
　　　長辺は a ＋ （18/5）a ＝ （23/5）a cm
　　　で、5：15 にはならず、条件に合いません

　　　正方形の１辺の長さを c cm とおきます
　　　残りを長方形 A と B で組み合わせることになりますが、
　　　図（２）と図（３）の ２通りの組合せ方があります

（２）図（２）の組合せの場合、長方形 B の長辺が 20cm、
　　　短辺の長さ 15 - c cm となります
　　　長方形 A の 辺の長さは c cm と 20 - c cm となりますが、
　　　　１） c が短辺の場合
　　　　　　3c ＝ 15 - c
　　　　　　（6/5）（20 - c）＝20
　　　　　　上記 ２式を満たす c はありません
　　　　２） 20 - c が短辺の場合
　　　　　　3（20 - c）＝ 15 - c
　　　　　　（6/5）c ＝ 20
　　　　　　上記 ２式を満たす c はありません

（３）図（３）の組合せの場合、どっちが長方形 A でどっちが B か、
　　　どっちが短径か c の長さによって違うので、場合分けします
　　　１） c ≦ 5 の場合
　　　　　　長方形 A の短径は c cm、長径は 15 - c cm
　　　　　　長方形 B の短径は 15cm、長径は 20 - c cm
　　　　　　3 c ＝ 15
　　　　　　（6/5）（15 - c）＝ 20 - c
　　　　　　上記 ２式を満たす c はありません
　　　２）5 ＜ c ≦ 7.5 の場合
　　　　　　長方形 A の短径は c cm、長径は 15 - c cm
　　　　　　長方形 B の短径は 20 - ccm、長径は 15 cm
　　　　　　3 c ＝ 20 - c
　　　　　　（6/5）（15 - c）＝ 15
　　　　　　上記 ２式を満たす c はありません
　　　２）c ＞ 7.5 の場合
　　　　　　長方形 A の短径は 15 - c cm、長径は c cm
　　　　　　長方形 B の短径は 20 - ccm、長径は 15 cm
　　　　　　3 （15 - c） ＝ 20 - c
　　　　　　（6/5）c ＝ 15
　　　　　　上記 ２式いずれを解いても c ＝ 25 / 2 ＝ 12.5 となり
　　　　　　条件を満たします

【答え】正方形の１辺の長さ 12.5cm

回答No.2

bgm38489

まず目に着くのは、対角線の長さがわかっていることですね。対角線を一本引けば、その長方形は、直角三角形二つに分けられる。長方形の二辺をa,bとすると、三平方の定理で、２５＾２＝a^2+b^2
a*b=300
b=300/a
a^2+90000/a^2=625
a^4-625a^2+90000=0
(a^2-400)(a^2-225)=0
　(省略しますが）
a=20,15
対角線の長さが25cmの長方形の辺は、それぞれ２０cm、１５cmですね。二つの長方形がＬ字型に組み合わさり、その右上に長方形が来ると考えると、後は簡単ですね。

回答No.1

asuncion

3つの図形を組み合わせてできる長方形の
縦：aセンチ, 横：bセンチとする。このとき、
ab = 300 …… (1)
a^2 + b^2 = 625 …… (2)
この連立方程式を解くと、できあがる長方形の縦と横がわかる。
なお、a < bとしても題意を失わない。
正方形Cの一辺 = aである場合とそうでない場合とに分ける。
i)Cの一辺 = aの場合
長方形AとBを組み合わせた長方形の縦 = a, 横 = b - a
この条件の下、AとBの短辺の比と長辺の比が題意を満たすかどうかを考える。
ii)Cの一辺 ≠ aの場合
長方形AまたはBのいずれかの長辺がbに等しいはずである。

と、ここまで考えたが、長辺の比が5 : 6だとどうもうまくいかなそうな気がする。
5 : 8だったらうまくいきそうな気がする。