高校数学、立体図形
図1のように 全ての辺の長さが√３＋１の正４角錐OABCDがある。この4角錐の内部で各面と球が接している時、次の問に答えよ。
（１）底面ABCDの対角線の交点をHとするとき、OHの長さを求めよ。
（２）この球の半径を求めよ。
（３）球面上の点からOAまでの最短距離を求めよ。
（問題集の解答）
（１）
３角形OAC合同３角形BACより、OH=BH=AB／２＝（√６＋√２）／２
（２）
図１のようにAB、CDの中点をM,Nとし、面OMNを取り出すと、図２のようになる。
ここで、内接球の切り口は三角形OMNの内接円になっている。
角の２等分線の定理より、OI対IH=MO対MH=√３対１より、球の半径は（√６＋√２）／２
×１／（√３＋１）＝√２／２
（３）
面OAC を取り出すと、図３のようになる。
三角形OIJ∽OAHであり、OI＝（√６＋√２）／２ー√２／２＝√６／２
よって求める距離はIJ-√２／２＝（√３－√２）／２
（疑問）
図2に赤文字で書いていることですが、内接球の接点がどこになるかはどうやってかんがえればよいのでしょうか？
正4面体の全ての面に内接する球ならば球の中心から各面の接点までの距離が一定という事から考えて各正三角形の重心というのはわかるし、立方体の各面に接する球ならば各正方形の対け苦戦の交点というのはわかりますが、本題の場合に（また、一般の場合に）どう考えればよいのかがわかりません。教えてください。
お礼
ありがとうございました。