留数を求めて積分を解きたい

質問

ｆ（ｚ）＝1/{（ｚ＾6）-1}として、円周を正方向に1周する積分路とする。

Ｃ：周点中に半径2として、∮c 1/{（ｚ＾6）-1}dzを求めたいのですが、分かりません。
留数を求めて算出したいのですが、途中から解けません。

（ｚ＾6）-1＝（ｚ-1）(z+1)(z-(1/2)+(i(√3)/2))(z+(1/2)+(i(√3)/2)))(z+(1/2)-(i(√3)/2)))と分解はできました。ここからどのように計算すればよいのでしょうか。途中式、答えをよろしくお願いいたします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>ｚ^6 -1＝（ｚ-1）(z+1)(z-(1/2)+(i(√3)/2))(z+(1/2)+(i(√3)/2)))(z+(1/2)-(i(√3)/2)))と分解はできました。

間違い。左辺はzの6次式、右辺はzの5次式です。右辺に因数を１つ忘れていませんか？

後の留数の計算の利便性のため以下のように因数分解しておきます。
z^6=(z^3-1)(z^3+1)
=(z-1)(z^2+z+1)(z^3+1)
=(z^3-1)(z+1)(z^2-z+1)
=(z-1)(z+(1/2)+i((√3)/2))(z+(1/2)-i((√3)/2))(z^3+1)
=(z^3-1)(z+1)(z-(1/2)+i((√3)/2))(z-(1/2)-i((√3)/2))
=(z-1)(z+1)(z+(1/2)+i((√3)/2))(z+(1/2)-i((√3)/2))
(z-(1/2)+i((√3)/2))(z-(1/2)-i((√3)/2))
６個の一位の特異点
z=±1,-(1/2)±i((√3)/2),(1/2)±i((√3)/2)
における留数を求めると
Res(1)=lim[z→1] (z-1)/(z^6-1)=lim[z→1] 1/((z^2+z+1)(z^3+1))=1/6
Res(-1)=lim[z→-1] (z+1)/(z^6-1)=lim[z→1] 1/((z^3-1)(z^2-z+1))=-1/6
Res(-(1/2)-i((√3)/2))=lim[z→-(1/2)-i((√3)/2)] (z+(1/2)+i((√3)/2))/(z^6-1)
=lim[z→-(1/2)-i((√3)/2)] 1/((z-1)(z+(1/2)-i((√3)/2))(z^3+1))
=-(1+i(√3))/12
Res(-(1/2)+i((√3)/2))=lim[z→-(1/2)+i((√3)/2)] (z+(1/2)-i((√3)/2))/(z^6-1)
=lim[z→-(1/2)+i((√3)/2)] 1/((z-1)(z+(1/2)+i((√3)/2))(z^3+1))
=(-1+i(√3))/12
Res((1/2)-i((√3)/2))=lim[z→(1/2)-i((√3)/2)] (z-(1/2)+i((√3)/2))/(z^6-1)
=lim[z→(1/2)-i((√3)/2)] 1/((z+1)(z-(1/2)-i((√3)/2))(z^3-1))
=(1-i(√3))/12
Res((1/2)+i((√3)/2))=lim[z→(1/2)+i((√3)/2)] (z-(1/2)-i((√3)/2))/(z^6-1)
=lim[z→(1/2)+i((√3)/2)] 1/((z+1)(z-(1/2)+i((√3)/2))(z^3-1))
=(1+i(√3))/12

上記の６個の一位の特異点の絶対値は全部1であるから積分経路の半径2の円内に存在するから
留数定理より
∮[c] 1/(ｚ^6 -1)dz
＝2πi {Res(1)+Res(-1)+Res(-(1/2)-i((√3)/2))+Res(-(1/2)+i((√3)/2))
+Res((1/2)-i((√3)/2))+Res((1/2)+i((√3)/2))}
=2πi {(1/6)-(1/6)-(1+i(√3))/12+(-1+i(√3))/12+(1-i(√3))/12+(1+i(√3))/12
=2πi (0-2+2)/12
=0 …(答)