留数の計算について

質問

∫c zsin(iz)/(z-iπ)^3 dzを計算しろという問題なのですが。z=iπを代入するときにsin(iz)も０になるのでいiπは２位の極と先生がいってました。
これはどうしてなのでしょうか？sin(iz)/(z-iπ)がz=iπで１になるからですか？

また実際に計算するとき答えは
∫c　ze(iz)/(z-iπ)^3 dz=2πiR(πi)からその虚部をとって答えとする方法を使ったんですが。積分でやると０。微分でやると２πになりました。
本当の答えってなんになるでしょうか？

回答No.3

oyaoya65 · ベストアンサー

#2です。
留数は1位の極の分子です。複素積分は1位の極以外ではゼロになります。

積分核f(z)をテーラー展開すると
f(z)=π/(z-iπ)^2 + (-i)/(z-iπ) +π/6 + (-i/6)(z-iπ) + (π/120)(z-iπ)^2 + ...

z=iπの極を反時計周りにい回転する経路に沿っての複素積分は(-i)/(z-iπ)の項以外はすべてゼロになります。

ですから、
＞-iπ/(z-iπ)^2がでてきたのでこれが２位の極と考えていいですか？
この2位の極の項の計算は間違っていますね。
2位の極の項の複素積分はゼロですし、その分子は留数と言いません。

テーラー展開して、1位の極の項だけが複素積分として値を持つことになります。

上に示したテーラー展開の一位の極の項は
(-i)/(z-iπ)
です。分子の(-i)が留数ですね。コーシーの積分公式から、積分は留数に2πiを掛けたものになりますね。

お礼

やっとわかりました！留数の定義を勘違いしてました。教科書も先生の授業もわかりにくくて。ありがとうございます。

回答No.2

oyaoya65

A#1さんの解答の積分路Cで、A#1さんの回答のように留数が「-i」で積分路Cが極z=iπを反時計まわりに取り囲む複素積分であれば結果は 留数に2πiを掛けた　2πとなりますね。
A#1さんの解答で合っています。

回答No.1

ojisan7

>sin(iz)/(z-iπ)がz=iπで１になるからですか？

これからは、極の位数はでてきません。級数展開を考えて下さい。

Ｃはiπを囲んだ積分路ですか？

zsin(iz)/(z-iπ)^3 という式についてはiπは１位の極です。この留数は-iですから、積分値は2πとなると思いますが・・・
２πが本当の答えです。

補足

級数展開したら　-iπ/(z-iπ)^2がでてきたのでこれが２位の極と考えていいですか？w=z-iπとして変換してｚに戻しました。
Cはiπを含んでいます。
留数はその係数だから-iπ？

やっぱりコーシーの積分表示から解くしかないですか？