留数定理を用いた有理関数の無限積分

質問

教科書の例題に
∫[-∞→∞] 1/(x^2+1)dx
という問題の解き方があります。そこには、

実軸上の線分[-r,r]と、原点を中心とする上半円Cr:|z|=rを結ぶジョルダン曲線Cを考える。無機は正方向とする。留数定理によれば
∫[C] f(z)dz = ∫[-r→r] f(x)dx + ∫[Cr] f(z)dz = 2πiR(i)
(ただし、R(i)はz=iにおける留数)
である。R(i) = 1/2i であるから、
∫[-∞→∞] f(x)dx = π-lim[r→∞] ∫[Cr] f(z)dz
の形に書けるから、最後の項=0 が示されればよい。

と書いてあります。でも、私にはなぜ 最後の項=0 を示す必要があるかがわかりません。留数定理より、
与式 = 2πiR(i) = π
と求めてはいけないのでしょうか？

回答No.2

info22 · ベストアンサー

#1です。
A#1の補足の質問の回答

>閉ループを一周する積分にするために半円の直線部分が必要なのですね。
半円の円弧部分と実軸の[-∞→∞] の直線部分が必要です。

>それだと、半円ではなく円では駄目なのでしょうか？
全円周だと積分路の「実軸の[-∞→∞] の直線部分」が入りません。この直線部分が、∫[-∞→∞] 1/(x^2+1)dx　の積分経路に当たります。
この直線部分が閉ループの積分経路Cの一部になっていないと、何のための複素積分か分かりません。
全円の積分路では、肝心の実軸に沿った積分が出来ないことになります。
なので半円の周囲である弓形の閉ループ積分路でないといけない。ということです。

回答No.1

info22

以下のURLの[2]の留数定理を確認下さい。
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/100cmp.html
留数定理の式の右辺は単一閉曲線に間困れた有限個の孤立点の留数の和に
2πi倍した式です。左辺は同じ単一閉曲線について関数の線積分です。

従って、
∫[-∞→∞] f(x)dx の積分は単一の閉ループに沿った線積分ではないし、そのループが確定しないのに、その内部の留数など定義されません。
なので、形式的にz=iにおける留数を求めても、左辺の[-∞→∞] の積分とはつながりがありませんので、
∫[-∞→∞] f(x)dx=2πiR(i)とは出来ないということです。
左辺と右辺を結びつけるには、閉ループを一周する積分にしなくては、留数定理そのものが成り立たないのです。
lim[r→∞] ∫[Cr] f(z)dz
の項があって初めて閉ループCが完成して留数定理が適用できるのです。

補足

回答ありがとうございます。閉ループを一周する積分にするために半円の直線部分が必要なのですね。

それだと、半円ではなく円では駄目なのでしょうか？