留数について

質問

留数について

f(z)=1/z^2のz=0における留数がなんで、0になるのか教えてください。

留数=1/2πi∫周回積分f(z)dz
です。
1/z^2の積分は、-1/zですよね？
周回積分は0～2πですよね？
∞に発散してしまうんですが、なにか考え方が間違っているんでしょうか？

回答No.1

proto · ベストアンサー

＞f(z)=1/z^2のz=0における留数がなんで、0になるのか教えてください。
留数の定義は、f(z)をローラン展開したときのz^(-1)の項の係数です。

f(x) = 1/(z^2)
　　　 = 1/(z^2) +0*(1/z) +0 +0*z +0*z^2 +...
と見ると、z^(-1)の項の係数は0ですね。

＞留数=1/2πi∫周回積分f(z)dz
＞周回積分は0～2πですよね？
＞∞に発散してしまうんですが、なにか考え方が間違っているんでしょうか？

発散しません。
周回積分のところで、
　　∫[0~2π]{f(z)}dz
を計算していませんか？

周回積分の正しい計算は
　　∫[c]{f(z)}dz　　(c:|z|=1)
です。

|z|=1より、z=exp(i*t) (0≦t＜2π)と書けます。
z=exp(i*t)と変数変換すると、
　　dz = i*exp(i*t)*dt
　　∫[c]{f(z)}dz = ∫[0~2π]{f(exp(i*t))*i*exp(i*t)}dt
右辺を計算すると0になります。

周回積分の計算方法を確認してください。

お礼

勉強不足なので全然わかりません。
今後もっと勉強を深めていきたいと思います。
ありがとうございました。