複素積分についてです。

質問

∫（z^3+5）dz /z{(z-1)^3}　の閉曲線Cに沿った積分を求めるのですが、問題は(1)z=0を中心とした半径1/2の円周を反時計回りに一周した積分値。(2)z=0を中心とした半径2の円周を反時計回りに一周した積分値を求めよ。

なのですが、(1)では特異点1を、(2)では特異点0,1をC内部に含んでいて、積分値は０にならず一定の値をとることは分かるのですが、被積分関数がうまく部分分数分解できず、コーシーの積分公式も使えず、値が求められないのですがどうしたらいいのでしょうか・・・・。

回答No.3

kabaokaba

ともに部分分数展開の必要はありません．
実数関数と違って「不定積分」を求める必要性はないのです．

定義に従って地道に計算する場合，例えば
(1) 積分経路を z=(1/2)e^{it} 0<=t<=2π
として，積分区間 0<=t<=2πで
∫（(1/8)e^{3it}+5）(1/2)ie^{it} dt /e^{it}{(e^{it}-1)^3}　
を計算するのですが，この方針でいくならば
部分分数展開も視野にいれないときついかもしれませんが，
こういう計算は普通はしないですよね．

本題．
複素関数を考えるときには
「注目している点で0にはならない関数はまとめる」
（場合によっては無視）という考え方が大事です．
＃そのうち習うかもしれませんが，複素関数の芽（germ）という
＃考え方です．
(1)の場合，注目点（この場合，極）は z=0 です．したがって，
（z^3+5)/{(z-1)^3} を一塊にしてあんまり気にしません
f(z)とでもおいてしまいましょう．そうすると
∫（z^3+5）dz /z{(z-1)^3}　= ∫(f(z)/z) dz
したがって，コーシーの積分公式より値は 2πif(0)
もしくは留数定理を考えて，積分路内の極は z=0 のみなので
f(z)/z　の留数は 2πif(0)

(2)の場合
z=0,z=1が注目点（極）．
この場合，留数定理を使うのが一番簡単です．
留数定理をまだ習っていないならば，関数をわけるのではなく
積分路の方を書き直すのが簡単なんです．
原点中心の半径2の円Cではなく，
原点中心の半径が十分小さい円C1と
z=1が中心の半径が十分小さい円C2
（両方とも原点中心の半径2の円の内部にすっぽり入るようにする）
を考えます．
そして，CとC1，C1とC2を結ぶ線分を考えます．
そうすると，Cの周回積分は
C1の周回積分とC2の周回積分の和になります．
＃これはコーシーの積分定理の応用．
＃絵を書いて経路を向きに注意してたどってください
＃Cは反時計周り，C1，C2は時計回りにまわって，
＃「線分」は同じものを逆向きにたどるので，積分には影響なしです．
＃そして，Cの積分＋(-C1の積分)+(-C2の積分)=0が
＃コーシーの積分定理（向きを考えると「内部に極がない」ことに注意）
＃から分かります．移項すれば
＃Cの積分=(C1の積分)+(C2の積分)

ここまでくれば，C1の積分は(1)と同じ．
C2に関しては，f(z)=（z^3+5)/zとおけば
∫ f(z)/(z-1)^3 dz
です．これはグルサーの公式で
2πif^{2}(1) です．

蛇足
コーシーの積分定理・コーシーの積分定理・
グルサーの公式・Taylor展開・ローラン展開・留数定理
これらは極めて重要です．
コーシーの積分定理をベースにして
他の連中を導出できるようにしておくと理解が深まります．
＃厳密でなくていいんです．
＃忘れてもその場でざっと作れる程度で十分

回答No.2

rarara888

(１)は特異点０ですね。部分分数分解する必要ないと思うのですが…
(１)は１位の極なのでコーシーの積分定理でいけます。
(２)はｚ＝０は1位の極でコーシーの積分定理。ｚ＝１は３位の極なのでクールガの公式でいけます。

回答No.1

siegmund

> (1)では特異点1を

単なる書き損ない思いますが，「特異点０を」ですね．

> 被積分関数がうまく部分分数分解できず

(z^3 + 5)/{z (z - 1)^3}
= A/(z-1)^3 + B/(z-1)^2 + C/(z-1) + D/z

として恒等式になるように A～D を決めればＯＫですが...

こういう話を教えていてときどきお目にかかる誤解は
B/(z-1)^2 と C/(z-1) を忘れる(そういう項はないと思っている？)です．