素因数分解と分数

質問

以下の問題を解いていて、解答に納得がいかないので教えてください。

問）a_1,...,a_n(n>1)を0でない整数とする。ある整数pと正の整数hとが存在して、
a_1,...,a_nのうちの一つのa_iだけがp^hで割り切れ、他のa_jはどれもp^hでは割り切れないとする。そのとき、
S=1/a_1+1/a_2+...+1/a_n （＊）
は整数でないことを証明せよ

解）「a_iを割り切る最大のべきをp^k」とし、mをa_1,a_2,...,a_i/p^k,...,a_nの最小公倍数とする。（＊）の両辺をm倍すると、右辺のm/a_i以外の項は整数だが、mはp^hで割り切れないのでm/a_iは整数でない。

ここで不思議に思ったのは、「」の部分でなぜ最大のべきを置いたかです。
m'として、a_1,a_2,...,a_i/p^h,...,a_nの最小公倍数としても問題ないと思います。
a_iにp^hで割っていること、p^hの素因数をa_i以外がもたないこと、この二つから、
m'のpの指数はa_iのpの指数（p^k)を超えることはないのではないかと思います。
これで、m'/a_iが整数でないことが示せると思います。

大変長く、わかりにくくなってすみません
何か自分が勘違いしているのか、他に見逃しているところがあるのか教えてください。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

> 示せると思います

仰る通り、示せるでしょう。

　列aが(1, 54)、p=3, h=1の場合でやってみましょ。すると
　　S= 1+1/54
である。

　解)によれば、(p^k)=27だから、1と54/(p^k)=2の最小公倍数はm=2。
　　mS = m(1+1/54) = 2 + 1/27
さて、m=2はp^h=3で割り切れない。以上おしまい。

　一方、お説によれば、1と54/(p^h)=18の最小公倍数はm=18。
　　mS = m(1+1/54) = 18 + 1/3
さて、m=18はp^h=3で割り切れる。で、…（続く）

というわけで、解のやり方のほうが話が簡単。というだけの違いです。

お礼

お礼が遅くなりましてすみません。

自分ひとりで考えてると矛盾があるのでは無いかと思ってしまいました。
お答えいただきありがとうございました。