任意のkに対し、f(m）がk個の素因数を持つ様なm

質問

f(x)を整数係数のmonic polynomialとしたとき
任意の整数kに対して、f(m)がk個の異なる素因数をもつような整数mは存在するか
という問題なのですが、

素数を小さい順にp_1 ,p_2, p_3, ...とし、
f(m)の素因数がp_1, p_2, ... , p_kとなるようなmが存在することを示す。

f(x)は問題文の条件より
f(x)=(x-a_1)(x-a_2)....(x-a_n)とおける　(a_iは整数）

p_iは素数なので互いに素
中国の剰余定理より
y≡a_1 (mod p_1)
y≡a_2 (mod p_2)
y≡a_3 (mod p_3)
...
y≡a_k (mod p_k)

を満たすｙが存在する。

y-a_1≡0 (mod p_1)
y-a_2≡0 (mod p_2)
y-a_3≡0(mod p_3)
...
y-a_k≡0(mod p_k)
となるためf(y)はp_1, p_2, ..., p_kのすべてで割り切れる。
間違いがあったら指摘ください。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

題意も証明方針も今一つピンとこないのだけれど、
任意の整係数モニック多項式が
整係数一次式の積に分解する…という主張は
明らかに間違い。よって、その証明は正しくない。
反例： x^2 + 2 とか。

お礼

回答ありがとうございます。一次式には確かに分解できないですね。。。考え直して再度質問します

回答No.1

Tacosan

「k個の異なる素因数をもつ」というのは「ちょうど k個」という意味でしょうか, それとも「少なくとも k個」という意味でしょうか?

「f(x)=(x-a_1)(x-a_2)....(x-a_n)とおける　(a_iは整数）」のところがわかりません.