素因数分解について

質問

中学三年で習う素因数分解についてです。
素因数分解をするときに、数字を最小の素数で割らなければいけない理由は何ですか?
また、素因数分解を利用して最大公約数と最小公倍数を求めるための式(共通の素数をかけていくという式です)の意味が理解できません。。
何故あの式で最小公倍数と最大公約数が出るんでしょうか?
テストが近いのでかなり焦っています。
どなたか詳しく説明してくださる方、回答よろしくお願いします。

回答No.3

tantantan323 · ベストアンサー

習ったのはもう30年以上昔で、その頃から数学苦手でしたから、最小の素数から割る原則なんてあったのだか全然覚えていませんけれど、小さいものから割ったほうが探しやすくないですか？

まず２。これは何度も割って偶数じゃなくなったら終わりですからすごく簡単。
つぎに３。これもすべての桁を足した数が３で割れなくなれば終わりですから簡単。
次に５。２で割ることを終わらせた後なら、１の位が５かどうかだけで５で割れるか判別できるのでこれも簡単。

ところで、２で割れないところまで最初に終わらせておかないと、５が含まれるか見る際に１の位が０か５か両方チェックしないといけなくなるし、さっき２で割ったのに３や５で割ったあとまた２で割ったりすると何回２が出て来たか数え間違えてしまうといけないので、ひとつの数字はとことん終わらせる、がいちばん間違いのない方法だと思います。

２,３,５のチェックが終わったら、面倒な７やら１１やら１３やらを手掛ければいいわけですから、やっぱり小さい数（＝瞬時に見つけられるもの）から順次とことん割れるところまで割っておくのがいちばん手際がいいと思いますよ。

最小公倍数と最大公約数の式は、そんなの習ったっけ？というくらい記憶がないのですが、
他の方が出されている数字を使わせていただくと。

２４＝２×２×２×３
６０＝２×２　　×３×５

このことは、２４は２でも割れるし、２×２×２でも割れるし、２×２×３でも割れるし、素因数分解後のどの素数の積でも割れることを意味します。
同様に、６０は２でも割れるし、２×２×３でも割れるし、３×５でも割れるわけです。

だから、両者に含まれる素数の共通部分を最大限にくくりだすと最大公約数になります。
ここでは共通するのは２×２×３ですよね。

最小公倍数は逆にこれだけかければ両者の素数がもれなく効率よく全部入ってるよという状態にすればいいので、
『両方の式の共通部分』×『それぞれの式の共通していない余った素数部分』で求めればよく、ここでは
２×２×３×２×５（＝１２０）
になります。
最初の２×２×３までが共通部分、次の２が２４の素数の余り者、最後の５が６０の式の余り者です。
こうしておけば式の中には２４を素因数分解した２×２×２×３も含まれるし
６０を素因数分解した２×２×３×５も含まれますからね。
出てきた答え１２０は、２４の倍数にもなっているし６０の倍数にもなっているというわけです。

お礼

回答ありがとうございます。
とても分かりやすく詳しい説明で、やっと理解することが出来ました!
本当にありがとうございました^^*

回答No.4

MarcoRossiItaly

その因数が素数であれば、どんな順番で割っても問題ありません。「目的」を忘れないでください。計算ではなく、分解することです。

30 = 2 × 3 × 5
70 = 2　　　× 5 × 7

※ 2, 3, 5, 7 は、いずれも素数。1 や 2×3(=6) などは、整数の因数（約数）ではあるが、素数でない。

● 30 の約数
　1, 2, 3, 5, 2×3(=6), 2×5(=10), 3×5(=15), 2×3×5(=30)
● 70 の約数
　1, 2, 5, 7, 2×5(=10),2×7(=14), 5×7(=35), 2×5×7(=70)

● 30 と 70 の公約数
　1, 2, 5, 2×5(=10)
● 30 と 70 の最大公約数
　2×5(=10)

● 30 の倍数【 7 倍に注目】
　(2×3×5)×1(=30), (2×3×5)×2(=60), …, (2×3×5)×7(=210), …
● 70 の倍数【 3 倍に注目】
　(2×5×7)×1(=70), (2×5×7)×2(=140), (2×5×7)×3(=210), …

● 30 と 70 の公倍数
　(2×3×5×7)×1(=210), (2×3×5×7)×2(=420), (2×3×5×7)×3(=630), …
● 30 と 70 の最小公倍数
　(2×3×5×7)×1(=210)

全て教科書に書いてあるはずです。何度も見直してください。「公」の字は、2 数に共通という意味合いです。

いいですか、繰り返しますが、「目的」を忘れないでください。どうして割るのかよく分からないというのは、目的が分からない、つまり最大公約数や最小公倍数が何であるのかを分かっていないからだと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
割る順番を意識しすぎていたみたいです;;
ちゃんと目的まで考えられていませんでした。

回答No.2

noname#227653

まず素因数分解については、最小でなくてもかまいません。とにかく素数で割ればいいんです。
なぜか、というと、たとえば３５０は２×５×５×７ですよね。だから、最小でなくてもいいので、３５０を何か素数で割ってみればいいのです。たとえば３５０÷５＝７０、７０÷５＝１４、１４÷２＝７、という計算をしたとしますね。そうすると３５０は７×２×５×５でできているということがわかりますよね。これで素因数分解の完成です。
最小公倍数と最大公約数については、今は「どうしてそうなるんだろう」ということはあまり考えない方がいいですよ。計算の仕方を覚えて間違いなくできるようになればそれで十分です。

お礼

回答ありがとうございます。
割る順番はそこまで重要じゃないんですね。
理由を深く考えすぎていたみたいです(^_^;)
私は意味も分からないまま公式を使ったりするのは嫌だと思っていまして・・・((どこかスッキリしないので;;
分かるまで考えてみたいと思います。

回答No.1

papabeatles

書いて説明すれば簡単なのだけでネットで説明するのが難しいです。
　２４と３６で試してみたら納得できるのかな

お礼

回答ありがとうございました。