P(n)をnの最大の素因数としたとき、

質問

整数論の問題です。

整数n≧1に対して, P(n)をnの最大の素因数とします。
このとき,

P(n^2+1)→∞(n→∞)となる。

n≧240ならばP(n^2+1)≧17となる。

のですが、どうしてでしょか？

さらに、P(n)≦7, P(n+1)≦7となる整数nを全て求めると、どうなるでしょうか？

回答No.2

Tacosan

#1 です.
すみません, 大嘘ですね. 全然証明してない....
ま, まぁ, なんとなくそれらしいかな～と....

回答No.1

Tacosan

P(n^2+1)→∞ as n→∞ だけですが:
3 以外の Fermat 数 F_n = 2^(2^n)+1 は必ず n^2+1 という形であることに注意します.
F_n = 2^(2^n) + 1 の因数は必ず k 2^n + 1 であることがわかっていますから, 任意の N に対して N ≦ 2^n + 1 なる整数 n を選ぶことができて P(F_(n-1)^2+1) = P(2^(2^n)+1) ≧ N です.