空間ベクトル

質問

空間内の４点Ａ(1,3,-1),B(0,2,1),(1,1,0),(-1,7,z)が同一平面上に存在するように、zの値を求めよ。

という問題なのですが、ABベクトル、ACベクトル、ADベクトルを求めるに当たって、点Ａから各点を引いていたのですが、√の中に入れて二乗してそれらを足さなくてもいいのですか？
公式のAB=√(b1-a1)^2+(b2-a2)^2+(b3-a3)^2 を使わない理由が知りたいです。

ベクトルは学習したことがなく、独学中ですので、おかしなことをいっている部分もあると思いますので、全体的な解説を踏まえて教えてくださるとありがたいです。

宜しくお願い致します。

回答No.4

noname#215361 · ベストアンサー

ANo.2の回答者です。
質問の趣旨からは外れる回答をしたようなので、追加回答をしたのですが、それが表示されませんでした。
時間差で表示され、重複してしまうかもしれませんが、予めご了承ください。

公式のAB=√(b1-a1)^2+(b2-a2)^2+(b3-a3)^2 は、ベクトルABの大きさを表わし、質問はベクトルの成分で考えるので、ベクトルの大きさは無関係です。（ANo.2を参照）
また、「ABベクトル、ACベクトル、ADベクトルを求めるに当たって、点Ａから各点を引いていたのですが」とありますが、各点の座標から点Aの座標を引かなければなりません。
ベクトルの終点の座標から始点の座標を引くと、目的のベクトルの成分が求められます

お礼

補足のご回答ありがとうございます。
使わない理由が理解できました。
ありがとうございます。

回答No.6

stomachman

ご質問の問題は「
　　α(B-A) + β(C-A) = (D-A)　…(1)
を満たす実数α, βが存在するzは何か？」ということ。
　行列を使ったカッコいいやりかたもあるけれども、まずは泥臭いところからコツコツ理解しないとね。

　ベクトルB, Cと実数値をとる変数uについて
　　P = uC + (1-u)B
とします。uにテキトーな実数を代入すると、Pは「CとBを結ぶ直線上のひとつの点」を表すベクトルになる。すなわちPはu=0ならB, u=1ならC, uが0～1であればCとBを結ぶ線分の内分点（内挿点。なお、内挿することを補間とも言います）です。「CとBを混ぜ合わせて両者の中間を作る」と思えばイメージが掴めるかな？また、uが0未満や1以上であれば、PはCとBを結ぶ直線上の外挿点です。（この式はめっちゃ重要です。是非とも作図したり、色々計算をやってみて、何がどうなってるのか、意味を理解して下さい。）
　さて、このPとAと実数値をとる変数vについて、
　　Q = vP+(1-v)A
を考えると、vにテキトーな実数を代入するとQはAとPを結ぶ直線上のひとつの点を表すベクトルになる。ですから、uとvをイロイロに変えてみれば、Qは三点A, B, Cで決まるひとつの平面上の、あらゆる点になれるし、また、この平面以外の点にはなりません。（これもまた是非とも、何がどうなってるのか理解して下さい。）で、
　　Q-A = vP-vA
　　　= v(1-u)(B-A) + vu(C-A)
そこで、
　　α = v(1-u)
　　β = vu
と書く事にすれば、
　　α(B-A) + β(C-A) = (Q-A)
です。そして、「Q=Dになるのはどんなとき？」というのが式(1)です。
（以上の説明はCとBを混ぜてPを作り、PとAを混ぜてQを作ったけれども、混ぜる順番を変えても結論は全く同じになる。このことはご自分で確認して下さい。）

　さて、(1)式を成分を使って書くなら「
　　α(0-1) + β(1-1) = (-1-1)　…(2)
　　α(2-3) + β(2-3) = (7-3)　…(3)
　　α(1-(-1)) + β(0-(-1)) = (z-(-1))　…(4)
であるとき、zは幾らか？」ということです。
　答を出すには、もちろん、式(2)と式(3)を連立方程式だと思って解いて、その結果を式(4)に代入するだけ。

お礼

大変分かりやすいご回答ありがとうございます。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri）

問題は AB, AC, AD ベクトルで 3x3 の行列を作り
行列式が 0 になるという条件でも簡単に求まります。

>公式のAB=√(b1-a1)^2+(b2-a2)^2+(b3-a3)^2

こっち

　ベクトルABの長さ=√{(b1-a1)^2+(b2-a2)^2+(b3-a3)^2}

が正確な公式ですが、ピタゴラスの定理でベクトルの大きさ(長さ)を求めているだけです。

ベクトルはこの場合3個の数値の組なので、1個の数値にまとめたら変です。ベクトルは

　ベクトルAB=(b1-a1, b2-a2, b3-a3)

ですね。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.2

noname#215361

CとDが抜けていますが、それはご愛嬌ということで…。

ベクトルAB=（-1，-1，2）
ベクトルAC=（0，-2，1）
この2つのベクトルのx成分だけを比較しても、ベクトルABとベクトルACは平行ではない（始点が同じAなので同一直線上にはない）ことがわかる
ベクトルAD=（-2，4，z+1）
4点A、B、C、Dが同一平面上に存在するための条件は、
ベクトルAD=m*ベクトルAB+n*ベクトルACとなる実数m、nが存在することで
ベクトルAD=（-2，4，z+1）=m*（-1，-1，2）+n*（0，-2，1）
これから
-2=-m→m=2
4=-m-2n=-2-2n→n=-3
z+1=2m+n=2*2-3=1→z=0

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.1

trytobe

たぶん、ベクトルとして考え始める前に、平面をあらわす式が ax+by+cz+d=0 と書ける、という実感から始めたほうがいいかもしれません。

つまり、二次元だったら、ある点 （ 1, 2 ）を通る直線が a(x-1) + b(y-2) = 0 と書けるのと同じで、

三次元だったら、点Ａ (1,3,-1) を通る平面は a(x-1) + b(y-3) + c(z+1) = 0 と書けるのです。これを整理すると、冒頭にある平面の一般的な形式 ax+by+cz+d=0 にできるのです。

そして、この問題では、３点目までで、a,b,c を求める連立方程式３つができるので、平面が特定でき、

それに４つ目の点の座標 (-1,7,z) を代入すれば、ｚ に対する方程式となるので、それから ｚ が求まるのです。

お礼

ご回答ありがとうございます。