空間座標内の角度

質問

空間座標内の3点A,B,Cで定義される平面上でない点Dがあり、ベクトルABをX軸、ベクトルADのZ成分方向をz軸とし、点Dから平面ABCにおろした垂線の交点をHとするとき、
∠HABを、0≦θ≦2πで求める数式が欲しいです。
御存知の方、ぜひお願いします！

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

「z軸」と仰るのは、点A,B,Cの張る平面に垂直な方向、ということですね。
記述を簡単にするため、原点を点Aに置いて、ベクトルABをb, ベクトルACをc, …という風に書く事にしましょう。
「z軸」の単位ベクトルをkとしますと、bとcの外積を使って
k = (b×c)/|b×c|
です。dが含んでいるkと平行な成分
(k・d)k
をdから差し引いたものがhです。すなわち
h = d - (k・d)k
あとは、hとbの内積
h・b = |h||b|cosθ
からArccosを使って計算できます。

お礼

ありがとうございます。
外積でxy平面に対するz軸方向も一位に決まるんですね。
便利！

回答No.2

ojisan7

他に回答者が現れないので、わたしが回答します。
大事なことは、図を描いて考えることです。図はもう描いてありますね。こういう問題はベクトルで考えた方が易しいのです。先ず、記号の約束をしましょう。ベクトルＡＢをa、ベクトルＡＣをb、ベクトルＡＤをdとします。（ベクトルの矢印記号は省略しました。）

１．ベクトルＨＤが平面ＡＢＣに垂直であることを式で表します。このためには、ＨＤ⊥ＡＨ、ＨＤ⊥ＢＨであることが、必要充分です。s、ｔを実数としたとき、
(d-ta-sb)・(ta+sb)=0 (1)
(d-ta-sb)・(ta+sb-a)=0 (2)
この(1),(2)の連立方程式を解きs,tを求めればベクトルＡＨが決定します。

２．ベクトルＡＨとベクトルＡＢの内積を計算すれば、cosθが求まります。
cosθ=(ta+sb)・a/{|ta+sb||a|}

３．θは右辺の逆余弦（arccos）ですね。