空間ベクトル

質問

空間内に２直線
x＋1=(y-1)/a=z (1)
-x＋1=y＋b=(z-1)/2 (2)

があり(1)、(2)は交わり、そのなす角は60度である

そのとき
a=?
B=?

どのように解くかわかりません。
おねがいします

方程式を解くと
x=-2/3
z=1/3
となったのですがどのように解くかわかりません。

空間においては、
ベクトルｕ＝（p，q，r）に平行で、点（a，b，c）を通る直線の方程式は
(x-a)/p＝(y-b)/q＝(z-c)/r と表すことができます。
また、ベクトルｕのことを「直線の方向ベクトル」ということしかわかりません。
全くわからないのでおしえてください

回答No.2

hinebot · ベストアンサー

>方程式を解くと
>x=-2/3
>z=1/3

(1)から
x+1=z ---(1)'
(2)から
-x+1 =(z-1)/2 ---(2)'
これらを連立方程式として解いたんですよね。
ここまでできたのなら、あとひといきです。
ですが、
x=2/3 ,z=5/3 になりませんか？　（もう一度計算してみてください）

さて、(1)'(2)'の連立方程式を解いて出た
x=2/3 ,z=5/3　---(3)
は何を表しているでしょうか？
これは、直線(1)(2)のx座標、z座標になります。
そのときのy座標はというと
(3)を(1)に代入して
(y-1)/a = 5/3 ∴ y=(5/3)a+1 ---(4)
(3)を(2)に代入して
-2/3+1 = y+b ∴ y=-b+1/3 ---(5)
(4)と(5)は同じものですから
(5/3)a+1 = -b+1/3　整理して 5a+3b = -2 ---(i)

次にもう一つの条件「そのなす角は60度である」を考えます。
(1)の方向ベクトルをu,(2)の方向ベクトルをvとすると（→の記号は省略しますね）
u=(1,a,1)
v=(-1,1,2)
となります。分からなければ、
(1),(2)の式と
>(x-a)/p＝(y-b)/q＝(z-c)/r
の式を比べてくださいね。

話を先に進めます。uとvのなす角が60°ですから、内積を使います。
内積　u・v = 1*(-1)+a*1+1*2 = a+1
一方、
|u|=√(1^2+a^2+1^2)=√(a^2+2)
|v|=√{(-1)^2+1^2+2^2}=√6
cos60°=1/2 ですから　
内積 u・v = |u||v|cos60°={√(a^2+2)}(√6)*(1/2)
=(1/2)√(6a^2+12)
これらは同じものなので
a+1 = (1/2)√(6a^2+12)
両辺を2倍してから、2乗すると
4(a+1)^2 =6a^2+12
展開して整理すると a^2-4a+4 =0　(a-2)^2=0
∴a=2
これを(i)に代入して 10+3b= -2 ∴b=-4

補足

u=(1,a,1)
v=(-1,1,2)

はどんな方法で出るのですか？

回答No.6

kony0

文字の多さに圧倒されて、なにをするべきか見失っているようです・・・

空間の座標における直線の式は
(x-□)/■=(y-□)/■=(z-□)/■
という形が一般形で、点(□,□,□)をとおり、ベクトル(■,■,■)に平行な直線をあらわします。このベクトル(■,■,■)を「方向ベクトル」と呼びます。

(1)のx＋1=(y-1)/a=zについては、
(x-(-1))/1 = (y-1)/a = (z-0)/1
という形になるので、(1)の直線は、点(-1,1,0)を通り、ベクトル(1,a,1)に平行な直線であると言えるわけです。

(2)の-x＋1=y＋b=(z-1)/2は、
-x+1=-(x-1)であることに注意すると、
(x-1)/(-1)=(y-(-b))/1=(z-1)/2
と式変形をすればOK。

あとは、「座標の問題→角度は内積で捉える」という重要な鉄則に従い、内積を計算するだけですね。

回答No.5

hinebot

>u=(1,a,1)
>v=(-1,1,2)
>はどんな方法で出るのですか？

(1),(2)の式を良く見て…といいたいけど。
それじゃ分からないのかもなので、
uの方だけ説明します。vの方も同様なので自分で確認してください。

u=(p,q,r)とします。
(1)式　x＋1=(y-1)/a=z より　この直線は点(-1,1,0)を通ることが分かります。
（実際に代入してみてください。全て0になって成立します）
よって、直線(1)の式は
{x-(-1)}/p =(y-1)/q = (z-0)/r すなわち
(x+1)/p = (y-1)/q = z/r
と表せます。これと(1)式は同じものですから、比較すれば
p=1, q=a, r=1 であることが分かります。

補足

x＋1=(y-1)/a=z (1)
-x＋1=y＋b=(z-1)/2 (2)

を
(x+1)/p = (y-1)/q = z/r
としてあらわすと
(1)は-1,1,0
(2)は-(x－１）=y＋b=(z-1)/2
より
1,-b,1
になってしまいます。
どうやって比較するのかわかりません

回答No.4

zaki_shin

＃3です。方向ベクトル間違ってましたね。。
＃1、＃2の方の解答が正しいです。すいません。
>u=(1,a,1)
>v=(-1,1,2)
>はどんな方法で出るのですか？

下記のように、自分でいってるじゃないですか。
(1)は
(x+1)/1=(y-1)/a=(z-0)/1
(2)は
(x-1)/(-1)=(y-(-1))/1=(z-1)/2
ですよね？または、下記の証明って意味ですか？
↓↓
空間においては、
ベクトルｕ＝（p，q，r）に平行で、点（a，b，c）を通る直線の方程式は
(x-a)/p＝(y-b)/q＝(z-c)/r と表すことができます。
また、ベクトルｕのことを「直線の方向ベクトル」ということしかわかりません。

回答No.3

zaki_shin

>方程式を解くと
>x=-2/3
>z=1/3
>となったのですがどのように解くかわかりません。

x=2/3,z=5/3です。
これを(1)に代入すると、(y-1)/a=5/3
y=5a/3+1 　---(1)'
同様に(2)に代入すると　y+b=1/3
y=1/3-b ---(2)'

(1)'(2)'からｙを消去して
b=-5a/3-2/3 ---(3)

次に、
(1)の方向ベクトルをAとすると
A=(1,1/a,1)
(2)の方向ベクトルをBとすると
B=(-1,1,1/2)
A・B＝-1+1/a+1/2=1/a-1/2　---(4)
また
A・B＝√(1+1/a^2+1)*√((-1)^3+(1)^2+(1/2)^2)*cos60°=√(1/a^2+2)*3/4 ---(5)

(4)(5)よりaが求まるので、これを（３)に代入してbを求める。

高校の範囲だと、ベクトルの為す角度が出てきたら、とりあえず内積を考えて見るといいと思います。

補足

u=(1,a,1)
v=(-1,1,2)

はどんな方法で出るのですか？

回答No.1

damegakusei

点（a，b，c）が（0,0,0）になるように平行移動を行うならば、点（ｘ，ｙ，ｚ）は（x-a,y-b,z-c）となりますね。
これが（p,q,r）に対し
x-a:y-b:z-c=p:q:r
であるから、
(x-a)/p＝(y-b)/q＝(z-c)/r
な訳ですね。

この(p,q,r)に相当する値が問題では２つ用意されています。
（1,a,1）(-1,1,2)がそれぞれに相当しますね。

これらがπ/３の角度で交われば、件の直線もπ/３で交わる訳です。
後はベクトル演算ですね♪
その後は交点を持つようにｂを決定すれば良い、と言う事になりますね。

x=-2/3
z=1/3
とわかっているようなので、後はｙが一致するようにｂを決定すれば良いのです♪

補足

u=(1,a,1)
v=(-1,1,2)

はどんな方法で出るのですか？