交代共変テンソル…

質問

テンソルについて勉強しています。
φ,ψ,τ:一次形式、a,b,c:ベクトルとするとき、
[φ,ψ,τ](a,b,c)=φ(a)ψ(b)τ(c)+φ(b)ψ(c)τ(a)+φ(c)ψ(a)τ(b)-φ(b)ψ(a)τ(c)-φ(a)ψ(c)τ(b)-φ(c)ψ(b)τ(a)
３階の交代共変テンソルと習いました。

このとき、
[φ,ψ,τ]=[φ,[ψ,τ]]=[[φ,ψ],τ]
これは正しいですか？
ちなみにφ:一次形式、Φ:双一次形式とすると
[φ,ψ](a,b,c)=φ(a)Φ(b,c)で[φ,Φ]は定義されるそうです。

回答No.1

grothendieck

[φ,ψ](a,b,c)=φ(a)Φ(b,c)で[φ,Φ]を定義すると
　[φ,[ψ,τ]]=φ(a)[ψ,τ](b,c)=φ(a)(ψ(b)τ(c)-ψ(c)τ(b))
となるので正しくないと思います。
　[φ,Φ](a,b,c)=φ(a)Φ(b,c)＋φ(b)Φ(c,a)＋φ(c)Φ(a,b)
で定義するとよいでしょう