テンソルの問題について質問です。Ｆ＾（μλ）を反対称な反変テンソルとす

質問

テンソルの問題について質問です。Ｆ＾（μλ）を反対称な反変テンソルとするときf0=Ｆ＾（1,2）,f1=Ｆ＾（2,0), f2=Ｆ＾（0,1)と定義するとfμ=(f0,f1,f2)は共変ベクトルとして変換することを示せ。　という問題の解答を教えてください。お願いします。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

レビ・チビタ擬テンソルε_{μνρ}を用いると，

f_μ = 1/2・ε_{μνρ} F^{νρ}

と書けます。するとその変換は，変換行列およびその逆をa^μ_ρ，a'^α_βなどとすると，

f'_μ = 1/2・ε'_{μνρ} F'^{νρ}
　　　= 1/2・a'^α_μ a'^β_ν a'^γ_ρ ε_{αβγ} a^ν_δ a^ρ_ε F^{δε}
　　　= 1/2・a'^α_μ (a'^β_ν a^ν_δ)(a'^γ_ρ a^ρ_ε)ε_{αβγ} F^{δε}
　　　= 1/2・a'^α_μ (δ^β_δ)(δ^γ_ε)ε_{αβγ} F^{δε}
　　　= 1/2・a'^α_μ ε_{αδε} F^{δε}
　　　= a'^α_μ f_α

となり，共変ベクトルとして変換することを示すことができました。
なお，δ^γ_εなどはクロネッカーのデルタです。

補足

テンソルの初学者で、１行目から２行目のεの変換がわかりません。εを使わずに書き下すことはできますか？（なるべく全体を具体的に書き下してほしいです）