4階以上の高階の交代テンソルについて

質問

私の本によると4階以上の高階の交代テンソルは全てゼロとのことです。
2階の交代テンソルは成分(i,j）を入れ替えたら符号が逆になるものと定義され、3階の交代テンソルは(i,j,k)が偶置換・奇置換で符号が逆になるものと定義されています。その結果、3階のテンソルはエディントンのεに定数をかけたものとなります。

私の本には、
”高階のテンソルは2,3階のテンソルと同じように（？）定義でき、従って4階の交代テンソル(i,j,k,l)　←添え字4つ　のうちの2つは等しい”という展開から4階やさらに高階テンソルは成分がゼロと進んでいきます。

”4階の交代テンソルが2,3階のテンソルと同様に定義される”という意味が分かりません。また、その結果、成分が全てゼロになるという流れも腑に落ちません。どのように考えたらよろしいでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.2

arrysthmia

伝わらないですねえ。そんなに読みにくい文章だったかな？

i_1, i_2, i_3, i_4 の 4 個の添え字が、
{ 1, 2, 3 } とか、あるいは { 0, 1, 2 } とか、
ともかく何か 3 次元の各座標軸を指すラベルの集合の中から
値をとるとすれば、
(i_1, i_2, i_3, i_4) は、4 個の成分のうち
どれか少なくとも 2 個は同じ値になっているから、
(1, 2, 3, 4) の置換ではありえない～　ということです。

例えば、
i_1 = 1, i_2 = 2, i_3 = 3, i_4 = 3 であれば、
(i_1, i_2, i_3, i_4) = (1, 2, 3, 3) であって、
これは、(1, 2, 3, 4) の置換ではない。
3 がカブっているからね。

i_1, i_2, i_3, i_4 の夫々が、{ 1, 2, 3, 4 } の中から
値をとるならば、そういう問題は起こりません。
アインシュタインの 4 階交代テンソルは、そうなっています。

お礼

回答有難うございます。つまり、3次元空間と限定していたらそうなるということですね。私が読んでいる本は、テンソル　裳華房　石原繁著で、その41ページに載っている記述です。短いので出来だけ正確に抜粋します。
---以下抜粋
高階交代テンソル　４階、５階、...交代テンソルを２階、３階と同じように定義できるが、k>=4としてk階交代テンソルはすべて０である。例えばW(i,j,k,l)を４階交代テンソルとすれば、添え字(i,j,k,l)のうち少なくとも２つは等しい。いまi=jとすれば、
W(i,j,k,l)=W(i,i,k,l)
ところが、W(i,j,k,l)=-W(j,i,k,l)においてj=iとすればW(i,i,k,l)=-w(i,i,k,l)であるから、W(i,j,k,l)=0となり、交代テンソルは0である。
---抜粋終了
テンソル解析といわれるものは空間の次元が３以下、すなわち基底ベクトルが３つまでということが前提となっている学問なのでしょうか。工業数学のように現実のものを考えるとしたら３次元空間に限定されると思いますが、数学としてはそれが前提であるとは思えないのですが。
アインシュタインの４階交代テンソルはゼロではないのですか。先の抜粋では”４以上の高階の交代テンソルはゼロである”と明言されていると理解できるのですが。

回答No.1

arrysthmia

4 階以上の交代テンソルも、問題なく定義できる。

n 階テンソルは、n 個の添え字を持つが、
n 階のエディントン ε は、その第 i_1, i_2, …, i_n 成分 ε(i_1, i_2, …, i_n) の値が～
[1]　(i_1, i_2, …, i_n) が (1, 2, …, n) の遇置換であるとき、ε(i_1, i_2, …, i_n) = 1。
[2]　(i_1, i_2, …, i_n) が (1, 2, …, n) の奇置換であるとき、ε(i_1, i_2, …, i_n) = -1。
[3]　(i_1, i_2, …, i_n) が (1, 2, …, n) の置換ではないとき、ε(i_1, i_2, …, i_n) = 0。
～というもの。

n 階の交代テンソルは、n 階のエディントン ε の定数倍である。
実際、相対論では、4階の ε を使う。

もしかして、質問の「私の本」では、各添え字の変域が n より小さくないですか？
反変ベクトルが、3 次元空間の位置ベクトルだったりして。

それだと、(i_1, i_2, i_3, i_4) は、全ての添え字が異なる値にはなれないから、
(1, 2, 3, 4) の置換ではありえない。
つまり、全ての成分が、上の [3] の場合となり、0 である。

お礼

回答有難うございます。私が考えいることと大体一致しておりますが、問いの根源は、
”それだと、(i_1, i_2, i_3, i_4) は、全ての添え字が異なる値にはなれないから”
に集約されます。”それ”とは、”n 階の交代テンソルが、n 階のエディントン ε の定数倍である。”ということでしょうか。必ず添字が一致するということになると、ゼロになるのはεの定義から承認されます。定数倍のところは任意だと思いますので4階以上のエディントンεは添字の一致により定義からゼロとなるということですね。どうしてでしょうか。私は簡単なことがわかっていないみたいです。