関数の連続性について

質問

現在、高校２年の者です。

　数学の問題で教えていただきたいことがあります。

　（１）y=f(x)=xsinx （２）y=f(x)=x+√(x^2-1) （３）y=f(x)=cos(1/x)

　上記（１）～（３）の定義域とその定義域で連続かどうかを調べるのですが、定義域で連続かどうかを調べる方法がよく分かりません。
　一応、以下のように考えております。

　定義域については、
　（１）すべての実数
　（２）根号条件より、x^2-1≧0⇔x≦-1,1≦x
　（３）（分母）≠0より、0以外のすべての実数

　連続性については、（１）～（３）のすべてにおいて、
　定義域の任意に実数aについて、lim(x→a+0)f(x)=lim(x→a-0)f(x)=f(a)を示す？
　あと、（２）の定義域の端点（x=-1とx=1）と（３）の定義域のx>0とx<0の0の付近の示し方が？

　アドバイスいただけないでしょうか。よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

関数というのは、まず定義域を決めて、その上で初めて
数式で表記できるようになります。

今回質問のように、まず式が与えられて、そこから
定義域を読み取るというのは、数学的に荒唐無稽としか
言えません。

例えば、(1) について、
f(x) = x sin x　ただし x は 0 または π と
f(x) = x sin x　ただし x は実数 と
f(x) = x sin x　ただし 0<x<1 と
f(x) = x sin x　ただし x は複素数 と
f(x) = x sin x　ただし x は虚部が正の複素数 は、
どれもが同じ資格を持つ関数であり、
数式とは別に定義域を指定しなければ、
どの関数が f(x) なんだか誰にも判りません。

この問題を作った方は、関数とは何であるかを
根本的に誤解している可能性があり、おそらく
中学の教科書から復習することが必要意です。
困った先生もいたものです。

定義域を貴方が書いているとおりとすると、
(1)(2)(3) は定義域全域で連続になります。
その示しかたも、貴方が書いている方法でよいです。

(2) の定義域閉端での連続は、定義域が続いている側の偏連続性
lim(x→1+0)f(x)=f(1),　lim(x→-1-0)f(x)=f(-1)
でよいだろうし、

(3) は、x=0 を定義域に含めないのだから、a≠0 を前提に
lim(x→a+0)f(x)=lim(x→a-0)f(x)=f(a)
を示せばよいです。
a が 0 に「近い」かどうかを、気にする必要はありません。

お礼

alice_44様

　お礼が遅れ、大変申し訳ございませんでした。
　（その後、体調を崩し入院・手術し、やっと退院しました）

回答No.1

uyama33

y=f(x)=xsinx について

x=a+h と　x=a で、 h→0　のときに
|f(a+h)－f(a)|=|(a+h)sin(a+h)-asin(a)|=|a(sin(a+h)-sin(a))+hsin(a+h)|
<= |a||sin(a+h)-sin(a)|+|h||sin(a+h)|
<=|a||2*cos(a+h/2)*sin(h/2)|+|h|*1
<=|a|*2*|sin(h/2)| + |h|
→0

よって、

x=a で連続。

お礼

uyama33様

　お礼が遅れ、大変申し訳ございませんでした。
　（その後、体調を崩し入院・手術し、やっと退院しました）