高校数学、関数（写像）の定義

質問

lim(x→０）(cosx-cosx^2)/(x-x^2)
解答で、ｆ（ｘ）＝cosxとすると、ｆ（ｘ）は全ての実数で微分可能で、ｆ‘（ｘ）＝-sinx

ｘ＞０のとき、ｘ→＋０のとき、０＜ｘ＜１としてよく、平均値の定理より、(f(x)-f(x^2))/(x-x^2)=-sincとあります。
関数ｆ（ｘ）＝cosxのｘにｘ＾２を代入しているのが違和感があるのですが、ここで参考書で関数（写像）を調べてみたのですが、
（関数（写像）の定義）
集合Xから集合Yへの対応が次のような条件を満たす時、ｆをXからYへの関数(写像）という。
Xの任意の要素ｘに対し、Yの要素ｙがただ1つにきまる。また、Xをｆの定義域、Yをｆの終域という。
（考え）
ここで、元の問題に戻ります。、ｆ（ｘ）＝cosxとしているのを考えると、ｆ（□）＝cos□という写像の□に入るものの代表としてｘという文字を使っていると理解できます。そこで、ｘ＝ｘ＾２としてみたのがｆ（ｘ＾２）と考えると、ｘ＝ｘ＾２としてさらにそのｘ＾２のｘには任意の数が代入できるとして混乱しますが、□に入る数字の代表としてｘ＾２を入れても□には実数が入れるから当然大丈夫。ｘ＾２とすると、□には０以上の実数が入っていくと理解してよいですか？
（一般化すると、関数の変数は集合の定義域に収まっていればどのようなものを代表にしてもよい）

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

xではない変数□を使って写像を書き直したところまでは大変結構なのだけれども、

> そこで、ｘ＝ｘ＾２としてみたのがｆ（ｘ＾２）と考えると

ここが間違い。そうじゃなくて、□にx^2を代入したのがf(x^2)です。

> □に入る数字の代表

[1] 「代表」？なんだそれ…。「代表」が何を意味するかはシランが、そんなもんが出て来る余地はありません。
　写像fは、数の対(pair) <x, y>を要素とするひとつの集合です。すなわち
　　f ⊂ {<x, y> | x∈X かつ y∈Y}
であり、
(1) x∈Xならば、<x, y>∈fであるyが存在する。
(2) <x, y>∈f かつ <x, z>∈f ならば、 y=z である。
を全部満たすようなものfのこと。そして、<x, y>∈f であるとき、yのことをf(x)と書く。
だから"f(x^2)"とは「<x^2, y>∈f であるようなy」のこと。（もちろん、"f(x^2)"はx^2∈Xである場合にだけ意味がある。）

　以上、「代表」なんてものはどこにも出て来ないし、何の用もない。

[2]「数」と「数字」の違いが分かっているのかいな？という心配があるな。
　修辞法の一種として、正しくは「数」と言うべきところを、わざと（"0"～"9"の文字そのものを指す）「数字」と言い換えることがある。その言い方が意味するのは「数の意味は無視する（無視されている）」というほどのことであって、すなわち「俺はその数に興味がない。せいぜい、『あー、数字が並んでいるな』としか認識していない」という自嘲あるいは冷笑の表明、「数字を並べてみせた当人だって、その意味が分かってないんじゃないの？」という皮肉の表明、はたまた「その数の意味がどうあれ、とにかく結果としてその数が形式的に●●であるかどうか（たとえば目標数値を上回っているかどうか）だけに興味があるんだ」という「形式」を強調するための表現であり、いずれにせよイヤミったらしい「オトナの言い回し」というもの。
　だから、数学の文脈では絶対に使わない修辞法である。「数」と言うべきところで「数字」と言えば、当然減点。

[3] 式に出て来る文字（変数や未知数）がどういうことなのか、分かっているのかな、ということも心配だな。
　恒等式
　　f(x) = cos(x)
に出て来る文字xが指すのは「fの定義域Xの要素のうちの、どれでもいいからひとつ」。この恒等式をきちんと書くなら
　　∀x(x∈X ⇒ f(x) = cos(x))
ってことです。すなわち「どんなxであっても、それがXの要素であるのなら、f(x)=cos(x)が成立つ」ってことですね。xが"∀x"として出て来る（束縛されている）ので、（束縛されていない f や cosとは違って）
(1)この式の外部では、xは何も意味しない。だからたとえば「恒等式
　　f(x) = cos(x)
が成立つ。そこでxに1を足すと…」とやったらアウト。
(2)この式の中で、xを別の文字に取り替えるのは（式の中にある他の文字とカブらない限り）自由。なので、「恒等式
　　f(z) = cos(z)
」というのは、
　　∀x(x∈X ⇒ f(x) = cos(x))
と全く同じ意味。

　また、「方程式
　　(x^2)-1 = 0
」に出て来る文字xが指しているのは「解の集合に属するどれかの数」。この方程式をきちんと書くなら、
　　{ x | x∈X かつ (x^2)-1 = 0}
であり、これが解の集合です。（もちろん、Xが違えば、解の集合も違って来る。）ここでxは{ x | ...の形で出て来るから、やはり束縛されているのであり、上記の(1)(2)が言えます。つまり解の集合をSとすれば、
　　S = {z | z∈X かつ (z^2)-1 = 0} = { x | x∈X かつ (x^2)-1 = 0}
である。
　そこで、Sは「
　　∀x(x∈S ⇔ (x∈X かつ (x^2)-1 = 0))
であるようなもの」とも表せます。ここでも文字xが束縛されているので、解の集合Sを「
　　∀z(z∈S ⇔ (z∈X かつ (z^2)-1 = 0))
であるようなもの」と言い換えても同じ。すなわち、「方程式
　　(z^2)-1 = 0
」と書いても、解の集合Sは同一。

　ですから、「方程式
　　(x^2)-1 = 0
より
　　|x|=1
だから、…」とやらかすのは、ゲンミツに言うとアウト。「方程式
　　(x^2)-1 = 0
の任意の解をsとすると、
　　|s|=1
だから…」ならOK。
　つまり、Sをこの方程式の解の集合として
　　∀s(s∈S ⇒ |s|=1)
と書くべき。
　もちろん、sは束縛されているから、sの代わりに別の文字xを使って
　　∀x(x∈S ⇒ |x|=1)
とやっても良い。けれども、そのxは「方程式 (x^2)-1 = 0」に出て来るxとは全く無関係である、ということに注意すべきです。たとえば「
　　x^2 - 1 = 0
より
　　x^2 = 1
である。」に2回出て来るxは、互いに全く無関係。この記述が意味するのは、「"x^2 - 1 = 0"という方程式の解の集合は、"x^2 = 1"という方程式の解の集合と丁度一致する」ということ：
　　{x | x∈X かつ x^2 - 1 = 0} = {z | z∈X かつ z^2 = 1}
あるいは、「"x^2 - 1 = 0"という方程式の解の集合のどの要素も、"x^2 = 1"という恒等式を満たす」ということ：
　　∀s(s∈{x | x∈X かつ x^2 - 1 = 0} ⇒ s^2 = 1)

これらに出て来る束縛変数zやsをxに書き換えても、意味は全く同じです。

お礼

ありがとうございました、頑張ります

回答No.2

spring135

#1です。

urlを参考に論旨を整理してください。

lim(x→０）(cosx-cosx^2)/(x-x^2)＝0

は出せましたか。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)

お礼

ありがとうございました頑張ります

回答No.1

spring135

cosx^2という書き方は非常にmisleadingなので避けるように指導されているはずです。

(cosx)^2なのかcos(x^2)なのか、確認してください。

お礼

ありがとうございました、頑張ります。

補足

COS(X^2)です。