定積分が定める関数

質問

『f(x)=∫（x^2－t^2）sintdtとおくときxf"(x)－f'(x)を求めよ』（∫は0～xの範囲）
という問題なんですが、

f(x)=∫（x^2－t^2）sintdtをf(x)=∫（x^2sintdt－t^2sintdt）
x^2は定数となるので
f(x)=x^2∫sintdt－∫t^2sintdt

この後二次導関数を求め、積の微分を使ったりして計算してみたのですが、計算結果が思ったよりかなり複雑になったので、答えに自信がもてません・・。こちらの解法の確認、および皆さんの計算結果教えてもらえないでしょうか・・・？

回答No.2

debut · ベストアンサー

＞f(x)=x^2∫sintdt－∫t^2sintdt

　から、f'(x)=2x∫sintdt+x^2sinx-x^2sinx=2x∫sintdt

　　　　f"(x)=2∫sintdt+2xsinx

　よって、xf"(x)-f'(x)=2x∫sintdt+2x^2sinx-2x∫sintdt= 2x^2sinx では？

　Ｆ(x)=∫f(t)dt のとき、Ｆ'(x)=f(x) です。

お礼

ご回答ありがとうございました。

回答No.3

oyaoya65

#1さんのおっしゃるように質問時にはご自分の解答（正しいかどうかか別です。途中まででも結構です。）を示してわからないところを質問するようにしてください。
結果だけ求めても、質問者さん自身の理解できていないところが明確にならず、勉強にはなりませんよ。

＞t^2sint-2xtsint-t^2xcost+x^2sint+xsint
こういったtの入った式を導かれること自体が理解不足ということを気がついていただかないといけません。
f(x)はxだけの関数ですから
xf"(x)-f'(x)もxだけの関数でないといけない
ことがお分かりになって見えないようです。
積分区間0～xの定積分ですので、積分変数のtが、積分結果に現れることが間違いだという基本的なことを先ず理解してください。
その上で、自身の解答を見直してください。

それから#2さんの回答をご覧になってください。

#2さんの解法、結果で正解ですので、よく理解し、自身の知識の蓄積としてください。

お礼

ご回答ありがとうございました。以後気をつけます。

回答No.1

graduate_student

>こちらの解法の確認、および皆さんの計算結果教えてもらえないでしょうか・・・？

でしたら，まずhonohoさんの計算結果を教えてください．

補足

t^2sint-2xtsint-t^2xcost+x^2sint+xsint
となりました。よろしくお願いします。