高校数学の包含関係の問題です

質問

(問題番号2-22)

任意の実数xに対して実数値を定める関数f(x)が与えられている

条件：f(x)=xをみたすxの集合をM,

条件;f(f(x))=xをみたすxの集合をNとする

(1)M∈Nであることを示せ　(=は包含関係の含むを表す記号として見てください、pC上で書き方分からないです

解説はx∈Mならばｆ(x)=xであるから　f(f(x))=f(x)=x　よってx∈Nであり、したがってM⊆Nとあるのですが
x∈Mならばｆ(x)=xは分かるのですがf(f(x))=f(x)=x　よってx∈Nであり、したがってM⊆Nの所が何故そう言えるのか分かりません

回答No.13

stomachman · ベストアンサー

ANo.8へのコメントについてです。

> Mを満たすようなxならばf(f(x))=xを満たし、こういうxはf(f(y))=y(yはすべての実数)に含まれるという事ですか？

いろいろおかしいですね。
　(1) Mは条件じゃなくて集合です。だから、「Mの要素であるようなx」ならありますが、「Mを満たすようなx」なんてものはありません。

　(2) 「f(f(y))=y(yはすべての実数)」という文言は、意味を持っていません。集合Nは「f(f(y))=yであるような実数y全てから成る集合」です。yは「すべての実数」なんかではなくて、f(f(y))=yを満たす実数に限るんです。
　もちろん集合Nを「f(f(x))=xであるような実数x全てから成る集合」と表すこともできます。

　さて、Mの要素であるようなxは（つまりx∈Mであるようなxは）どれでも、f(x)=xを満たし、従ってf(f(x))=xを満たす。だから、そのxはNの要素でなくてはなりません。
　つまり「x∈Mであるどんなxもx∈Nである」と言えます。なので、M⊂Nです。

お礼

御返答有難うございます

補足

分かりました、これで理解できたっぽいです

回答No.12

MagicianKuma

とことん付き合おう（笑）
>x∈Mならばx∈Nが言えたらM⊆Nが言えるんですね、これの証明とか例とかありますか？
これは部分集合の定義ですから証明するものではありません。が定義には何らかの意味があるはずですからそれを説明してみましょう。
今、集合A={b,d,f},集合B={a,b,c,d,e,f,g}としてみましょう。見て分かるように集合Bの一部分が集合Aになっていますよね。これとは別に、集合C={b,c,h}だとすると、CにはBに属していない要素hがあるので、CはBの部分とは言いがたいよね。これらのことを正確に表現しようとしたとき、次のようになるのです。
すなわち、Aに属する要素は全てBに属しているならばAはBの部分と言えるから、AはBの部分集合とよぼう。さらに部分集合であることをA⊂Bと表わそう。と定義したのです。論理式で書くと、∀x(x∈A⇒x∈B):=A⊂B
一方、∀x(x∈C⇒x∈B)は成り立たないよね(h∈Cだけどh∈Bじゃないものね)、だからC⊂Bではない。
ベン図を知っていますか？図で表すと集合Bを表す円のなかにすっぽり集合Aを表す円が含まれているとき、AをBの部分集合と呼ぶのです。

お礼

御返答有難うございます

補足

>ベン図を知っていますか？
勿論知ってますよ

x∈Mならばx∈Nが成り立つということはxがMという要素に含まれる時いつもそのxはNにも含まれるつまり、この日本語から分かるのはMの要素の方がNの要素より大きいということですね、でもMの中にすっぽりNが入るかは分からなくないですか？

回答No.11

Tacosan

#2 を理解せよ.

お礼

御返答有難うございます

補足

x∈Mならばx∈Nが言えたらM⊆Nが言えるんですね、これの証明とか例とかありますか？イメージしずらいです

回答No.10

MagicianKuma

>じゃあAはx∈M、Bはｆ(x)=x、cはf(f(x)) = x、Dは x∈Nということですね
で、結局理解できたのかな？　それなら良かった良かった。

お礼

御返答有難うございます

補足

いえ、そこから更にx∈Mならばx∈Nというのは分かりますが

M⊆Nが何で言えるのか分かりません

回答No.9

MagicianKuma

No.4さんの回答をどう考えますか？
AならばB 　　　　　１. x∈Mならばｆ(x)=x　　　　　　　
BならばC　　　　　　2. f(x) = x なら f(f(x)) = x
CならばD　　　　　　3. f(f(x)) = x なら x∈N
なので　AならばD　　4. (1～3 の結果) x∈Mならば x∈N

お礼

御返答有難うございます

補足

じゃあAはx∈M、Bはｆ(x)=x、cはf(f(x)) = x、Dは x∈Nということですね

回答No.8

stomachman

ANo.3へのコメントについてです。

> f(f(x)) = xであることが分かります←ここまでは分かります、この後の2番目の条件によってx∈Nに何で繋がるのかわかりません

「2番目の条件」というのは、ご質問にある

条件;f(f(x))=xをみたすxの集合をNとする


のことで、これは、「f(f(x))=xを満たすようなどんなxもNの要素であり、かつ、Nの要素であるようなどんなxもf(f(x))=xを満たす」という意味です。つまり、そういう性質を持つ集合をNと名付けるぞ、ということです。

> NにMを満たすxの式f(x)=xを代入したらMの式f(x)=xになりますが、

　全然違います。「NにMを満たすxの式f(x)=xを代入」などしていません。
　そもそも「集合Nに何か式を代入する」や、「Mの式f(x)=xになります」というのは全く意味をなさない言葉です。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
　どうやら、集合というものがお分かりでないようですね。

　NとMはそれぞれ別の集合です。どちらも、fさえ決めればそれぞれ一意的に決まってしまう集合です。そして、NもMも、数を要素とする集合です。（だから「Mの式」という言葉は何も意味しないのです。）

★ もしかして、『「NとMが別の集合だ」ということから、「Mの要素であるxは、Nの要素ではない」と言えるのだ』と、誤って考えていらっしゃるのではないでしょうか。
　正しくは、NとMが別の集合であるときでも「NとM両方の要素になっているx」があるかも知れない。また、「Nの要素であるがMの要素ではないx」があるかも知れない。「Mの要素であるがNの要素ではないx」があるかも知れない。
　たとえば A={1, 2, 3 }という集合と、B={1, 3, 7}という集合は、別の集合ですからA≠Bです。「AとB両方の要素になっているx」は1と3です。また、「Aの要素であるがBの要素でないx」は2ですし、「Bの要素であるがAの要素でないx」は7ですね。

　二つの集合P, Qが同じである (P=Q)のは、「x∈Pであるどんなxもx∈Qであり、かつ、x∈Qであるどんなxもx∈Pである」という場合であり、そしてこの場合だけです。
　なので「PとQ両方の要素になっているx」があったって、それだけじゃP=Qということにはなりません。
　また、二つの集合P, Qが別の集合である(P≠Q)からと言って、「PとQ両方の要素になっているx」がないとは限りません。

　また、P⊂Qであるのは「x∈Pであるどんなxもx∈Qである」という場合であり、そしてこの場合だけです。（従って、P=Qであるとき、P⊂QもQ⊂Pも成立っています。）

お礼

御返答有難うございます

補足

>そもそも「集合Nに何か式を代入する」や、「Mの式f(x)=xにな>ります」というのは全く意味をなさない言葉です。
Mを満たすようなxならばf(f(x))=xを満たし、こういうxはf(f(y))=y(yはすべての実数)に含まれるという事ですか？

回答No.7

MagicianKuma

あ！違った。三段論法のところが分からないのか。
AならばB、BならばC、CならばD　から　AならばD　が導けます。（これはもうどうして？という以前の皆が認めようという論理です）でもって、今回はAに該当するのがx∈MでありDに該当するのがx∈N

お礼

御返答有難うございます

補足

>AならばB、BならばC、CならばD　から　AならばD　が導けま
>す。
もちろん、この例だと分かりますよ

>今回はAに該当するのがx∈MでありDに該当するのがx∈N
BやCに該当するものがあるんですか？今回は直接じゃなくこういう間に挟んでるものがあるんですか？

回答No.6

MagicianKuma

あなたが分からない部分がようやっと分かった。
x∈Mならばf(f(x))=xが成り立つところまでは理解できているのですね。
では集合Nの定義は何だったのでしょう？そうf(f(y))=yを満たすようなyの集合ですね。（あえて記号をyに変えています）
ということは、f((f(x))=xを満たすxはf(f(y))=yを満たすようなyの集合Ｎに含まれていませんか？

お礼

御返答有難うございます

補足

>f((f(x))=xを満たすxはf(f(y))=yを満たすようなyの集合Ｎに
>含まれていませんか？
確かにそうですね、自分で確認してみると、まずxがMに含まれるときxはf(x)=xを満たすということですね、

そして、このときf(f(x))はf(x)になってf(x)=xということですね、そしてNはf(f(y))=yを満たすすべての関数を表すからその一部であるf(f(x))=xはNに含まれるということですね

回答No.5

Tacosan

そこはただの三段論法なんだけどなぁ.

お礼

御返答有難うございます

補足

詳しくお願いします!!

回答No.4

Tacosan

ちょっと噛み砕いてみよう. 以下のうちどこが分からないんでしょうか?
1. x∈Mならばｆ(x)=x
2. f(x) = x なら f(f(x)) = x
3. f(f(x)) = x なら x∈N
4. (1～3 の結果) x∈Mならば x∈N
5. よって M⊆N

お礼

御返答有難うございます

補足

4,5が分かりません3までから4,5に何で繋がっていくのかが分からないです

回答No.3

stomachman

ANo.1の通りなんだけど、やっぱ分からんのでしょうかね。

[1] x∈Mを満たす勝手なxについて考えます。

　1番目の条件から、
　　f(x)=x　…(1)
です。なので、任意の関数gについて
　　g(f(x)) = g(x)　…(2)
です。

　ここで、関数gが何であっても(2)は成立つのだから、関数gが関数fである場合を考えれば、
　　f(f(x)) = f(x)　…(2')
が成立つことが分かります。

　さて、(2')の右辺に(1)を代入すると
　　f(f(x)) = x　…(3)
であることが分かります。
　だから、2番目の条件によって
　　x∈N
です。

[2] 以上から、x∈Mであるどのxについてもx∈Nであることが分かった。つまり、x∈Mはx∈Nの十分条件になっています。なので、
　　M⊂N
です。

お礼

御返答有難うございます

補足

>x∈Mを満たす勝手なxについて考えます。
まずこれはMに含まれるxという意味ですよね？

>f(x)=x　…(1)
Mは(1)をみたすxの集合ですね

>f(f(x)) = x　…(3)
>であることが分かります。
>だから、2番目の条件によってx∈N

f(f(x)) = xであることが分かります←ここまでは分かります、この後の2番目の条件によってx∈Nに何で繋がるのかわかりません

>x∈Mであるどのxについてもx∈N
NにMを満たすxの式f(x)=xを代入したらMの式f(x)=xになりますが、これがx∈Mであるどのxについてもx∈Nに何でなるんですか？