凸関数についての問題。

質問

１.
hi: R^n→R(i=1,2,・・・・・m)が凸関数ならば、
集合S=｛x|hi(x)≦0｝は凸集合になることを示せ。

２.
D(R＾n上)を空でない凸集合とし、f:D→Rとする。
このとき、fがD上で準凸関数になるための必要十分条件は、
任意の実数αに対して、準位集合Lα＝｛ｘ（Ｄ上）｜f(x)≦α｝
が凸集合であることを示しなさい。

よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp

1.
{a,b}⊂R^n
hi(a)≦0
hi(b)≦0
0≦t≦1
とすると
hi{(1-t)a+tb}≦(1-t)hi(a)+thi(b)≦0

2
fを準凸関数とする
f(a)≦α
f(b)≦α
0≦t≦1
とするとfは準凸関数だから
f{(1-t)a+tb}≦max(f(a),f(b))≦α
∴Lα={x(D上)|f(x)≦α}は凸集合

0≦t≦1
f(a)≧f(b)
とすると
a,b∈Lf(a)={x(D上)|f(x)≦f(a)}は凸集合だから
→(1-t)a+tb∈Lf(a)
→f{(1-t)a+tb}≦f(a)