高校数学の包含関係の問題です

質問

(問題番号2-22)

任意の実数xに対して実数値を定める関数f(x)が与えられている

条件：f(x)=xをみたすxの集合をM,

条件;f(f(x))=xをみたすxの集合をNとする

(1)M∈Nであることを示せ　(=は包含関係の含むを表す記号として見てください、pC上で書き方分からないです

解説はx∈Mならばｆ(x)=xであるから　f(f(x))=f(x)=x　よってx∈Nであり、したがってM⊆Nとあるのですが
x∈Mならばｆ(x)=xは分かるのですがf(f(x))=f(x)=x　よってx∈Nであり、したがってM⊆Nの所が何故そう言えるのか分かりません

回答No.13

stomachman · ベストアンサー

ANo.8へのコメントについてです。

> Mを満たすようなxならばf(f(x))=xを満たし、こういうxはf(f(y))=y(yはすべての実数)に含まれるという事ですか？

いろいろおかしいですね。
　(1) Mは条件じゃなくて集合です。だから、「Mの要素であるようなx」ならありますが、「Mを満たすようなx」なんてものはありません。

　(2) 「f(f(y))=y(yはすべての実数)」という文言は、意味を持っていません。集合Nは「f(f(y))=yであるような実数y全てから成る集合」です。yは「すべての実数」なんかではなくて、f(f(y))=yを満たす実数に限るんです。
　もちろん集合Nを「f(f(x))=xであるような実数x全てから成る集合」と表すこともできます。

　さて、Mの要素であるようなxは（つまりx∈Mであるようなxは）どれでも、f(x)=xを満たし、従ってf(f(x))=xを満たす。だから、そのxはNの要素でなくてはなりません。
　つまり「x∈Mであるどんなxもx∈Nである」と言えます。なので、M⊂Nです。

お礼

御返答有難うございます

補足

分かりました、これで理解できたっぽいです

回答No.2

MagicianKuma

部分集合の定義を振り返ってみればよいかと。
∀x(x∈M⇒x∈N)が真のときMをＮの部分集合とよび、M⊂Nと表す。

お礼

御返答有難うございます

補足

x∈M⇒x∈Nこの関係が何で言えるのか分かりません

x∈Mならばｆ(x)=xここまでは分かるのですが、次のf(f(x))=f(x)=x　よってx∈NとここからしたがってM⊆Nが何で言えるのか分かりません

回答No.1

funoe

f(x)=x だから

f(f(x))　の　ｆの括弧の中のｆ(ｘ)をｘに置き換えてよい。
（たとえば　g(x)＝α　のとき　f(g(x))＝f(α）　というのとおんなじ。）

f(f(x))＝f(x)

f(x)=x だから

f(x)=x

結局

f(f(x))=f(x)=x

お礼

御返答有難うございます

補足

f(f(x))=f(x)=xこの式は分かるんですが、何でここからよってx∈Nと分かるんですか？最初のx∈Mならばｆ(x)=xは分かるんですが