留数の応用問題

質問

(1)∫[-∞→∞]dx/(x^2+x+1)

(2)∫[-∞→∞]dx/(x^2+1)(x^2+4)

この式を留数を用いて解けという問題が解けません
解説をお願いします。

ちなみに答えは
(1)2π/√3
(2)π/6
です

回答No.2

transcendental

（１）　積分路Cとして、原点を中心、半径R（＞１）の上半円C1とｘ軸上の積分[ーR、R]からなる単一閉曲線をとる。
R→∞のとき、∫[C1]ｆ（ｚ）ｄｚ＝０がいえるので、このとき、
∫[-∞ to ∞]ｆ（ｘ）ｄｘ＝２πi・Res（ｆ（ｚ）、e^（２πi/３））
となります。

（２）も同様です。（R＞２）
I＝２πi・｛Res（ｆ（ｚ）、２i）＋Res（ｆ（ｚ）、i）｝
＝２πi・｛－１/（１２i）＋１/（６i）｝
-----------------------------
※　｜∫[C1]ｆ（ｚ）ｄｚ｜≦∫[0 to pi]｜iRe＾（iφ）ｄφ/｛（Re＾（φ））＾２＋Re＾（iφ）＋１｝｜≦∫[0 to pi]Rｄφ/｛R＾２－R－１｝＝２πR/｛R＾２－R－１｝→０（R→∞）

回答No.1

info222_

(1)
I=∫[-∞→∞]dx/(x^2+x+1)
x+1/2=tとおくと
I=∫[-∞→∞]dt/(t^2+3/4)
=∫[-∞→∞]dz/(z^2+3/4)
=lim[R→∞]∫[-R→R]dz/(z^2+3/4)
=lim[R→∞]∫[C]dz/(z^2+3/4)
[C]=[C1]+[C2]
C1:z=-R→R, C2：z=Re^(iθ)（θ=0→π）
=lim[R→∞]∫[C] dz/(z^2+3/4)
=lim[R→∞]∫[C] dz/(z^2+3/4)

留数定理より
=2πi Res(1/(z^2+3/4), z=i√3/2)
=2πi * 1/(i√3)
=2π/√3

(2)
I=∫[-∞→∞]dx/((x^2+1)(x^2+4)）
=∫[-∞→∞]dz/((z^2+1)(z^2+4)）
=(1/3)∫[-∞→∞]dz(1/(z^2+1)-1/(z^2+4)）
=(1/3) lim (R→∞) ∫[-R→R]dz(1/(z^2+1)-1/(z^2+4)）

「C]=[C1]+[C2]
C1:z=-R→R, C2：z=Re^(iθ)（θ=0→π）
=(1/3) lim (R→∞) ∫[C]dz(1/(z^2+1)-1/(z^2+4)）
留数定理より
=(1/3) 2πi [Res(1/(z^2+1), z= i)-Res(1/(z^2+4), z=2i)]
=(1/3) 2πi [1/(2i) - 1/(4i) ]
=π/6