留数を用いた積分計算について

質問

∫[-∞,∞][(a-x)/{(a-x)^2+b}]dxについて
留数を使って求める方法をだれかご教授してください。
留数の求め方もよく分かってませんので
そのあたりの解説もできれば教えてください。

回答No.4

oyaoya65 · ベストアンサー

#1です。
複素積分でする場合
b>0であれば
極は a+i√b と　a-i√b
です。
これらの極に対する留数は
両方とも
-(1/2)
になります。
したがって、閉積分路Cを
実軸の-∞→∞、それとlim[R→∞] R e^(iθ) ,θ＝0→π
にとると
この閉ループに入る特異点は z = a+i √b のみ
ですから
積分＝2πi×(-1/2)＝-πi
となります。

回答No.3

endlessriver

∫[-∞,∞][(a-x)/{(a-x)^2+b}]dxについて b>0であれば特異点はありませんので、この積分を
lim[R→∞]∫[-R,R][(a-x)/{(a-x)^2+b}]dx
と仮定すれば不定積分から、解が得られます。０ですけど。
この考えでy=a-xと変数変換すれば奇関数の積分になるのでこれからも０になりまっす。

回答No.2

endlessriver

１．留数を用いずとも原始関数は簡単に求められ、－(1/2)log|(a-x)^2+b|となるので、積分値は存在しないはず。
２．留数計算するにしても積分内の関数f(z)が|z|=Rのとき
|f(z)|≦M/R^k(k>1、Mは定数）でないと半円の積分路でR→∞としたとき０とならず、値が定まらず、使用できないので、留数計算は困難です。

すなわち、蒲鉾型の周積分の内、x軸の部分が求める∫[-∞,∞]の積分になり、半円の部分の積分値が定まらないのです。これらの和が０となることが解っていても。

補足

実際の問題は、∫[-∞,∞][(x-ξ)/{(x-ξ)^2+h^2*n^2}]dξ
n,h,xは定数
なんですが、解はないのですか？
これを解いて提出しろということなので、解が出ないと
いうことはないと思うのですが…

回答No.1

oyaoya65

留数を使った積分は被積分関数f(x)を複素関数f(z)に置換え、かつ積分の上下限を、複素空間の閉じた積分路に変換してやらないといけません。

留数は、f(z)の極(a_i)すべてについて、f(z)をテーラー展開して(z-a_i)^(-1)の項の分子（係数）が留数(r_i)になります。（i=1,2,...,n ただしnは極の数）

積分結果は閉じた積分路の中に含まれる留数の和を 2πi倍した値になります。

テーラー展開とコーシーの積分定理から積分値を求めます。以下の参考URLを見てください。

分からないところは質問者の解を分かる範囲で書いてわからないところを補足質問してください。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%95%99%E6%95%B0

補足

まず、x=tanθと置換し、積分範囲を[-π/2からπ/2]とした後、
z=e^(-iθ)で更に置換することで閉じた積分路にするということでしょうか？閉じたと言う意味があまり分かっていないもので・・・。
そうして出来た積分関数で特異点αを計算し、
lim[z→α](x-α)*与式によって留数を求めたのち、
その留数に2πiを掛けるといった流れでいいですか？
これですると、答えが合わなかったんですが・・・。
どこか考え方がおかしいですか？