応用数学についての質問です

質問

(2y)dx+(3x)dy=0
この式の一般解を求めよという問題で、授業では積分因子を用いて解いていました。
しかし、変数分離形として解くことはできるのではないかと考え、解いたところ、授業で教えてもらった答えとは違いました。
ちなみに授業でやった時の答えは、　x^2+y^3=C　です。
僕がやった時の答えは、　-1/3logx=1/2logy+C　です。
この問題は変数分離形として解いたらダメなのでしょうか？もしダメなら、理由も教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

tmppassenger · ベストアンサー

> -1/3logx=1/2logy+C
は、
-2log(x) = 3log(y) + 6C
2log(x) + 3log(y) = -6C
exp( 2log(x) + 3log(y)) = exp(-6C)
x^2 * y^3 = exp(-6C)
となることは分かりますか？そして、積分定数は適当におけることはいいですよね。
ところで、実は(-1/3)log(-x) = (1/2)log(-y) + C も答えになっているのはいいですか？No.1さんの途中式も、
> ln(|x|^2)+ln(|y|^3)=C'
となってますね。

お礼

なるほどわかりました！ありがとうございます！！

回答No.1

info222_

(2y)dx+(3x)dy=0
2dx/x+3dy/y=0
ln(|x|^2)+ln(|y|^3)=C'
x^2 *|y|^3=C" (C"=e^C'>0,xy≠0)
x^2*y^3=C (xy≠0, Cy>0) ... (Ans.)
となるので
授業で教えてもらった答え, 僕がやった時の答えの
どちらも間違っているようです。

[検算]
x^2*y^3=C(≠0)
2xy^3+x^2(3y^2)dy/dx=0
xy≠0
2y+3xdy/dx=0
2ydx+3xdy=0
(元の方程式に一致)

お礼

回答ありがとうございます。授業でやった答えを書き写し間違えてました、すみません。答えはinfo様の答えです。
変数分離形では解けませんか？なぜ変数分離形で解いたらダメなのでしょうか？回答よろしくお願いします。