締切済み 留数定理の質問です 2011/06/10 18:55 ∫[x=0→x=∞] dx exp(iax) / b-x^2 の積分値って留数定理で求まりますか？もしできるのならば、やり方を教えてください。よろしくお願いします。 みんなの回答 （2） 専門家の回答 みんなの回答 Ae610 ベストアンサー率25% (385/1500) 2011/06/11 20:32 回答No.2 ANo.1です。 積分路の取り方 積分路Cを上半平面に取り、且つ実軸上に存在する特異点を含むように√bの近傍[√b-ε,√b+ε]および-√bの近傍[-√b-ε,-√b+ε]を下半平面に突出するように√bを中心とする半径εの半円Cεを取って計算した。 通報する ありがとう 0 広告を見て他の回答を表示する（1） Ae610 ベストアンサー率25% (385/1500) 2011/06/11 03:59 回答No.1 計算間違いとかしていなければ・・・ 留数定理で求めると ∫[0→∞]{exp(iax)/(b－x^2)}dx ＝(1/2√b)・cos(a√b)・πi 質問者 お礼 2011/06/11 15:18 ありがとうございます。 あと、申し訳ないのですが積分の仕方を教えていただけないでしょうか 具体的には積分路の取り方などです。よろしくおねがいします 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育自然科学物理学 関連するQ&A 留数定理について質問です。 留数定理について質問です。 次のような問題が出題されました。 「Fourier積分を利用し微分方程式の主要解を求めよ。 (d^2/dx^2)G+κ^2G=-δ(x-ξ)」 解答の詳細は省略しますが G=(1/2π)∫dk{exp[ik(x-ξ)]}/(k^2-κ^2) の積分を[-∞,∞]で計算することに帰着します。(これまでのところで、δはδ関数、iは虚数単位です。) これをkの複素平面上で留数定理を用いて計算するという定石的なやり方なのですが、積分路の取り方としてx-ξ>0なら虚軸が正の半円+実軸上、x-ξ<0なら虚軸が負の半円+実軸上というループを採用します。極が実軸上にあるのでx-ξ>0の場合のループではk=κのみをループ内に含むように、x-ξ<0の場合はk=-κのみを含むように選ぶと Res(κ)=exp[iκ(x-ξ)]/(2κ)より x-ξ>0のときG=i{exp[iκ(x-ξ)]}/(2κ) とあります。ここまではいいのですがx-ξ<0の場合、 「同様に、G=i{exp[-iκ(x-ξ)]}/(2κ) (x-ξ<0)」 となっています。自分の計算ではG=-i{exp[-iκ(x-ξ)]}/(2κ)となるのですが、何故合わないのか分かりません。留数の公式に当てはめるとexpの肩と全体の符号が極の選び方で逆になるように思うのですが、解答では全体の符号が変化していないように思います。 x-ξ<0の場合の計算の詳細を教えていただけないでしょうか？ 留数定理が分かりません 留数定理を使って∫(cos(x))^(2n)dx 積分範囲は0から2π、nは正の整数を解けという問題です。cos(x)=(1/2)(z+1/Z)と置いてやろうと思いましたが、お手上げです。どなたか詳しい方教えてください。宜しくお願いします。 留数定理による実定積分の計算について 留数定理による実定積分の計算について 現在複素積分について勉強中のものです。 ∫^{+∞}_{-∞}f(x)exp{itx}dxという形の積分の計算なのですが t>0については ∫^{+∞}_{-∞}f(x)exp{itx}dx=2πiΣ^{m}_{k=1}Res{f(z)exp{itz}} となりf(z)が偶関数のとき ∫^{+∞}_{0}f(x)cos(tx)dx=πiΣ^{m}_{k=1}Res{f(z)exp{itz}} となりf(z)が奇関数のとき ∫^{+∞}_{0}f(x)sin(tx)dx=πΣ^{m}_{k=1}Res{f(z)exp{itz}} となりますが t<0のときはどうなるのでしょうか。 マイナスになるだけでしょうか。 よろしくお願いします。 留数定理による実定積分の計算について 留数定理による実定積分の計算について 現在複素積分について勉強中のものです。 ∫^{+∞}_{-∞}f(x)exp{itx}dxという形の積分の計算なのですが tを実数とし,kはΣの添え字,mは極の個数,iは虚数とします. このときtがt<0のとき ∫^{+∞}_{-∞}f(x)exp{itx}dx=-2πiΣ^{m}_{k=1}Res{f(z)exp{itz}} となりf(z)が偶関数のとき ∫^{+∞}_{0}f(x)cos(tx)dx=πiΣ^{m}_{k=1}Res{f(z)exp{itz}} となりf(z)が奇関数のとき ∫^{+∞}_{0}f(x)sin(tx)dx=-πΣ^{m}_{k=1}Res{f(z)exp{itz}} となる これで合っていますでしょうか？ よろしくお願いします。 留数が上手く求まりません 積分 ∫(x^2)dx/(x^4+1) [-∞→∞] の値を求めたいのですが、上半面にz=e^(πi/4),e^(3πi/4)に１位の極を持つので、留数定理より積分値を求めようとしました。しかし、どうも上手く行かず両方とも留数がゼロになってしまいます。答えは(√2・π)/2なのですが、模範解答が省略されていて、何がいけないのかが全く分からないでいます。留数を求める途中の計算過程を教えて欲しいです。それとも私の極の求め方などが既に間違っているのでしょうか？ 留数定理を用いた積分 ∫（ｘ^２/(ｘ^６＋１) ｄｘ(-∞～+∞)の計算なのですが、ｆ（ｘ）を複素関数として留数定理をつかって考えるというのはというのはわかるのですが、留数定理をどう使うのかがわかりません。あと極という言葉の意味がわからないのでそのへんの説明もしてくれたらマジで助かります。回答してくれたら幸いです。 積分値を留数定理で求める方法 問題：次の積分の値を求めよ ∫exp(-z)/(z(z-1)(z-3))dz 但し、複素積分は円周 |z|=2 上半時計回りに行うものとする。 上の問題を、留数定理を用いて以下のように解きました。 C : z=2×exp(iθ) 極は0、1、3でそれぞれ1位であり、 Res［f(z)，z0］=lim[z→z0] (z-z0)f(z) であるから R(1)=(1/3-1/12)×exp(-1) R(3)=(1/9-1/4)×exp(-3) R(0)=1/2-1/18 よって、留数定理より、 与式=2πi(R(0)+R(1)+R(3)=2πi(4/9 - (1/4)×exp(-1) - (5/36)×exp(-3)) 質問したいことは、 1、この問題を留数定理で解く方針は正しいか 2、特異点が極かどうか(極でないとRes［f(z)，z0］=lim[z→z0] (z-z0)f(z)が使えないので) 3、留数定理の使い方が正しいか 4、上記の解答は正しいか です。回答よろしくお願いします。 留数定理について 次の問題が解けません 留数定理を用いて次の定積分の値を求めよ． ∫1/(1+(cosθ)^2)dθ 積分範囲 θ:0→2π です よろしくお願いします． 留数定理による実積分の計算 留数定理を用いて実積分を行いたいのですが，以下の問題がどうしても証明できません。 ∫[0→∞]（x^a/(x^2+1)）dx=(π/2)/(cos(πa/2)) (0<a<1) 積分路は C1：実軸上をε→R，C2：半径Rの円上を0→2π，C3：実軸上をR→ε，C4：半径εの円上を2π→0 です。 途中計算を詳しく載せていただけるとありがたいです。 留数定理を用いた計算について f(z)=1/zとし、0.5+0iを中心とした半径１の円を反時計回りに一周積分したいのですが、 z=0.5+exp(iθ)、dz=i*exp(iθ)dθ とおいて置換積分すると ∫1/z dz =∫(i*exp(iθ))/(0.5+exp(iθ))dθ =[ln(0.5+exp(iθ)] =ln(0.5+exp(2πi))-ln(0.5+exp(0i)) =0 となって０になってしまうんですが、f(z)には０＋０iに特異点があるので 留数定理より一周積分した答えは2πiになるはずだと思うので上記の計算結果が なぜこうなるのか理解できません。 自分の何が間違っているのか教えてください。 よろしくお願いします。 留数定理 皆さん、こんにちは。今回は留数定理について聞きたいことがあるのですが問題は、 Cを円 |z+i|=2 とするとき留数定理を使って∫c {z^2・sin (1/z)}dz を求めなさい。 というものですが、私はこの時、(z^2)と{sin (1/z)}で部分積分を利用してとこうとしています。そこで、参考書やネットを通じて調べましたが、sin (1/z)の積分の仕方が今ひとつ理解できません。 どなたか、分かる方がいらっしゃれば幸いです。よろしく願います。 留数定理とコーシーの積分公式・グルサの定理 単刀直入に聞きます。 留数定理で１周線積分が求まります。 では、留数定理が使えれば、コーシーの積分公式・グルサの定理を使う必要はないのでしょうか。 留数定理を用いた積分 添付した画像にある積分の答えの導出法が分かりません。どなたか教えていただきたいです。留数定理を用いるのはわかったのですがそれを使ってどう導くかわかっていません。よろしくお願いします。 留数定理を使った実積分の計算 留数定理を使った実積分の計算 下記積分を、留数を使って計算しました。 図のように上半面の留数を使ったときと、 下半面の留数を使ったときでは、値がマイナス違いました。 つまり、-3π/80になってしまいました。 これは正しい間違いなのでしょうか？ そしたら、なぜマイナスがついてしまったのでしょうか？ 教えていただけるとうれしいです。 留数定理を使った解き方を教えてください。 留数定理を使った解き方を教えてください。 ある本の次の問題の解き方が分かりません。分かる方教えていただきたくよろしくお願いいたします。 ----- 原子衝突の理論では次の、実数pを含む積分に遭遇する。 I=∫(-∞→∞)｛(sin t)exp(ipt)/t｝dt この積分を求めなさい。 ----- 答は、以下のとおりです。 ----- |p|>1ならI=0で、|p|<1ならI=π。 ----- 答に示されている積分経路は以下のとおりです。（本の説明では、ひとつ前の問題の積分経路として記載されていますが、おそらくそれは誤植で、この問題の積分経路と思われます。） また、ε→0、R→∞の極限を取ると思われます。 ----- C1：ε→R（ε及びRは正の実数。実軸上を移動） C2：R→-R（θ=0→πの反時計回り） C3：-R→-ε（実軸上を移動） C4：-ε→ε（θ=π→0の時計回り） ----- これ以上の解説はありません。 その本の他の問題を参考に、以下の計算をしてみました。 f(z)=(sin z)exp(ipz)/z とおくと、 sin z=(exp(iz)-exp(-iz))/2i より f(z)=(exp(2iz)-1)exp(i(p-1)z)/2iz となり、 z=r(cosθ-isinθ)とおくと、 exp(i(p-1)z)=exp{-(p-1)rsinθ+i(p-1)rcosθ} となります。 C4の経路では、f(z)=0となるような気がするのですが、C2の経路はどうすればよいのか分かりません。 よろしくお願いいたします。 ロピタルの定理を使った留数の求め方 ロピタルの定理を使った留数の求め方 質問は2つあります。 (1)式の複素積分を、下図に示した複素平面状の閉じた経路に沿って行うことを考える。 ここでa（≠0）は実数で、図中のkは十分大きい(k≫|a|)整数とする。 (質問1) 留数を求めたいのですが、極がn(∈Z)の場合の留数の求め方が不安です。 数式のように計算しました。 途中でロピタルの定理を使っているのですが、 この使い方はあっているでしょうか？ ロピタルを使うときは、第2因子の分母z^2+a^2も微分しなければならないと思うのですが。 (質問2) k→0としたとき、積分の値がゼロとなることを示したいのですが、 (6)式以降どうやったらいいかわかりません。 どなたかご教授いただけるとうれしいです。 複素関数論の積分問題（留数定理を使わず） ∫(-∞→∞）１/x4+a4 dx を留数定理を使わず、コーシーと閉曲線分割だけで解けという問題があるんですが、とけなくて困っています。どなたか解いていただけないでしょうか？ 留数定理を利用する実積分 留数定理を利用して1/(x^3+1)を0から∞まで積分してください。本ではlogz/(z^3+1)を原点ＯからＲ、Ｒから反時計回りに一周円を描き、再びＲに戻り、そのときには多価関数の性質からlogz+2πiになっているので、そこから原点Ｏに戻るという経路で積分するというような説明がされていたのですが、よくわかりません。どなたか教えてください。 積分∫[-∞,∞]cosbx*exp(-ax^2)dx タイトルの実定積分を複素積分を利用（留数定理等）して行いたいのですが、上手くいきません。 a=const>0,b=const,ガウス積分利用可です。 フーリエんとこ勉強していたのですが、 形的には∫[∞,∞]exp(-ikx)*f(x)dxが一般的な形ではないかと・・ f(x)=exp(-ax^2)の場合です。 よろしくお願いします。 留数定理の問題について質問です。 J=∫[0,+∞]cosax/(x^4+1) dx (a＞0)を留数定理を用いて解く問題です。 まずはじめに、z=e^ix とおいて、x^4+1=0の解を求めると、x1=e^i*(π/4)とx2=e^i*(3π/4)が当てはまります。 そこで、Res(x1)=e^(x1*i*a)/4x1^3,Res(x2)=e^(x2*i*a)/4x2^3が求められ、 J=2πi(Res(x1)+Res(x2))となると思うのですが、そこからうまくできずに困っています。 cosaxの"a"の使いかたが特によくわかってないので、教えてください。 注目のQ&A 「前置詞」が入った曲といえば？ 新幹線で駅弁食べますか？ ポテチを毎日3袋ずつ食べています。 優しいモラハラの見抜き方ってあるのか モテる女性の特徴は？ 口蓋裂と結婚 らくになりたい 喪女の恋愛、結婚 炭酸水の使い道は キリスト教やユダヤ教は、人殺しは地獄行きですか? カテゴリ 学問・教育 自然科学 理科（小学校・中学校）化学物理学科学生物学地学天文学・宇宙科学環境学・生態学その他（自然科学） カテゴリ一覧を見る あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVE セレクト コスメ化粧品 化粧水・クレンジングなど 健康食品・サプリ コンブチャなど バス用品 入浴剤・アミノ酸シャンプーなど スマホアプリ マッチングアプリなど ヘアケア 白髪染めヘアカラーなど
お礼
ありがとうございます。 あと、申し訳ないのですが積分の仕方を教えていただけないでしょうか 具体的には積分路の取り方などです。よろしくおねがいします