留数の積分

質問

参考書に解答がなくて、積分の問題が解けません。
できれば途中の式もつけて、答を教えてください、お願いします。

a＞0 のとき
1∫[-∞→∞] cos(x)/(a^2 - x^2) dx
2∫[0→∞] xsin(x)/(x^2 + a^2) dx

回答No.1

151A48 · ベストアンサー

１．　（π/a)sin a
２．　(1/2)πe^-a

途中の式を書きたかったのですが，積分経路のとりかたとか，説明が面倒で挫折しました。
１．は e^ix/(a^2 -x^2) の積分の実数部
２．は偶関数なので　　－∞→∞の積分の半分。xe^ix/(x^2+a^2)の積分の虚数部
なのですが・・・。参考書にやりかた書いてありませんか。

お礼

参考書に例題と練習問題があって、例題には解き方が書いてあります。練習問題はどの例題の類題かわからなくて質問しました。
ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

1.
実積分として収束するのは a = (π/2)・(奇数) の場合だけで、
そのとき、A No.1 の答えと A No.2 の答えは一致する。
それ以外の a では、発散する。
複素積分としては、経路を明示しなければ無意味。

2.
A No.1 No.2 の計算どおり。

お礼

この問題は実積分でした。ありがとうございました。

回答No.2

info22_

答えだけ

１
(答え) -i(π/a)(e^(ia))

２
(答え) π/(2e^a)

(参考)以下のWolframAlphaサイトで積分を求めた結果です。

参考URL：

http://www.wolframalpha.com/

お礼

この問題は実積分でした。ありがとうございました。