複素関数論の積分問題（留数定理を使わず）

質問

∫(-∞→∞）１/x4+a4 dx を留数定理を使わず、コーシーと閉曲線分割だけで解けという問題があるんですが、とけなくて困っています。どなたか解いていただけないでしょうか？

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

題意は、被積分関数をローラン展開せずに、
極の周りで積分が計算し易い閉曲線を見つけろ
ということでしょう？

|x - a(1+i)/√2|=ε,　|x - a(-1+i)/√2|=ε
(εは正の実定数) とか、どうですか？
これを、実軸上に弦を置いた半円周の積分路へ
接続する。
半円の直径は、十分大きくとっておきましょう。

極を中心とした偏角でパラメータ表示すれば、
すぐに実積分へ持ち込めます。

お礼

先生にも聞いて、なんとか解けました。回答者さんの方法もいいですね！やっと理解できました。ありがとうございました。