留数が上手く求まりません

質問

積分 ∫(x^2)dx/(x^4+1) [-∞→∞]
の値を求めたいのですが、上半面にz=e^(πi/4),e^(3πi/4)に１位の極を持つので、留数定理より積分値を求めようとしました。しかし、どうも上手く行かず両方とも留数がゼロになってしまいます。答えは(√2・π)/2なのですが、模範解答が省略されていて、何がいけないのかが全く分からないでいます。留数を求める途中の計算過程を教えて欲しいです。それとも私の極の求め方などが既に間違っているのでしょうか？

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>両方とも留数がゼロになってしまいます。
なりません。
計算すれば以下の通り。

z=e^(πi/4)における留数
Res(f(z),z=e^(πi/4))=lim(z→e^(πi/4)) (z^2)(z-e^(πi/4))/(z^4+1)
=lim(z→e^(πi/4)) (z^2)/((z-e^(-πi/4))(z-e^(3πi/4))(z-e^(-3πi/4)))
=lim(z→e^(πi/4)) (z^2)/((z-e^(-πi/4))(z+e^(-πi/4))(z+e^(πi/4)))
=lim(z→e^(πi/4)) (z^2)/((z^2+i)(z+e^(πi/4)))
=i/(2i2e^(πi/4))=(1/4)e^(-πi/4)
=(1-i)/(4√2)

z=e^(3πi/4)における留数
Res(f(z),z=e^(3πi/4))=lim(z→e^(3πi/4)) (z^2)(z-e^(3πi/4))/(z^4+1)
=lim(z→e^(3πi/4)) (z^2)/((z-e^(πi/4))(z-e^(-πi/4))(z-e^(-3πi/4)))
=lim(z→e^(3πi/4)) (z^2)/((z-e^(πi/4))(z+e^(3πi/4))(z+e^(πi/4)))
=lim(z→e^(3πi/4)) (z^2)/((z^2-i)(z+e^(3πi/4)))
=(-i/(-2i2))*(-1-i)/√2
=-(1+i)/(4√2)

>答えは(√2・π)/2なのですが
違うようです。

積分は、留数定理より
積分=2πi((1-i)/(4√2)-(1+i)/(4√2))
=2πi/(-2i/(4√2))　
=-4π√2　...(答え)

お礼

参考書と答えが違うというのは少し不安ですが、有難うございました。

回答No.1

Tacosan

単純に計算すれば 0 でない留数が求まるはず (1位の極だし) なんだけど....

あなたはどう計算して「留数がゼロ」となったんでしょうか?