留数について

質問

sin2z/2(z-π)^2 の留数を求める方法としては、普通に留数を求める式に入れて(2位の極なので一回微分して)Res=1としてよろしいのでしょうか？
sin2zがz=πで正則ではなくなるため公式が使えないのではないかと不安になりました。どうかよろしくお願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>sin(2z)がz=πで正則ではなくなるため公式が使えないのではないかと不安になりました。

z=πではなくz=πの近傍(z≠π)で成り立っているから大丈夫です。
z=πは特異点で関数は定義されませんから、留数はあくまでz=πの近傍(z→π,z≠π)で定義される概念です。

>普通に留数を求める式に入れて(2位の極なので一回微分して)Res=1としてよろしいのでしょうか？
よろしいですよ。

Res(sin(2z)/(2(z-π)^2,z=π)
=lim(z→π) d/dz(sin(2z)/2}
= Res{lim(z→π) cos(2z)}
=1

お礼

よく理解できました。ありがとうございます。

回答No.2

alice_44

何言ってんですか？
sin2z は、z=π で正則ですよ。
普通に、sin2z を z=π 中心にテイラー展開して、
(z-π)2 で割ったらいいです。
1/(z-π) 項の係数が、z=π での留数です。

お礼

ありがとうございます。sin2πが0になってしまうので正則ではないと思っていました。