複素解析の問題

質問

1)
n回微分は等しいので
n!a_n=n!b_n
よってa_n=b_n
同様に
n-1回微分は等しいので
(n-1)!a_n-1+n!a_n=(n-1)!b_n-1+n!b_n
a_n=b_nより
a_n-1=b_n-1

これらをn-2回微分、n-3回微分..とやっていくと
a_n=b_n (n=0,1,2,...)

2)
f(z)=-f(-z)から
2(a_0+a_2z^2+a_4z^4+...)=0
zの恒等式とみなすとa_2k=0 (k=0,1,2,..)

3)
a_2k+1=-1/(2k+1)!

1)～3)はこれで合っていますか？
あと4)の答えを教えてください。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

1)
>n回微分は等しいので
n!a_n=n!b_n
よってa_n=b_n

ダメです。
与えられている式は無限級数です。n回微分しても元のn次以上の項はすべて残っています。
そこから必要ない項だけを残すにはzに適切な数値を入れればよいのです。(もちろん、その数値は収束半径内の値に限られます。)
なお、別にn-1,n-2回微分は必要ありません。任意のnについて上記のことは成り立ちます。

2)
恒等式といってもよいのかな。
f(z)の表式は収束半径内だけでのもの。恒等的に成り立つとは限らない。
これも1)と同様にすればよい。

3)
惜しい。
マイナスを付けていますがこれでは2回微分しても元から符号が変わりません。
1個おきにプラスとマイナスが交互に来るようにしないといけません。

4)
わかる人にはこれはsin(z)の定数倍だから収束半径は∞ですね、となるのですが、それでは根拠になりませんね。
ダランベールの収束判定法で事足ります。
|a_(2k+1)/a_(2k+3)|
のk→∞の極限値からわかります。

お礼

回答ありがとうございます。
1)は
f^n(0)=n!a_n=n!b_nからa_n=b_n
よってa_n=b_n (n=0,1,2,...)

2)は
2(a_0+a_2z^2+a_4z^4+...)=0より
f^2k(0)=(2k)!a_2k=0
よってa_2k=0 (k=0,1,2,...)

でよろしいでしょうか？

回答No.2

rnakamra

#1のものです。

>1)は
f^n(0)=n!a_n=n!b_nからa_n=b_n
よってa_n=b_n (n=0,1,2,...)

2)は
2(a_0+a_2z^2+a_4z^4+...)=0より
f^2k(0)=(2k)!a_2k=0
よってa_2k=0 (k=0,1,2,...)

でよろしいでしょうか？

OKです。

お礼

回答ありがとうございます。