複素関数の計算問題

質問

もうすぐテストなんですが、教科書解いている途中でひっかかりました。
１．ｚ＾３＝８
２．ｚ＾６＝－１
１の答えは、２、－１＋－i√３
２の答えは、＋－（√３＋ｉ）／２、＋－ｉ、＋－（－√３＋ｉ）／２
です。
１のｎ乗根は
ｅ＾２ｋπ／ｎ、 ｋ＝０，１，．．．、ｎ－１
で与えられるのは公式ですよね。
これをどう扱うかわかりません。
わかるかた、解き方をお願いします。

回答No.2

suima · ベストアンサー

＞１のｎ乗根は
＞ｅ＾２ｋπ／ｎ、 ｋ＝０，１，．．．、ｎ－１
＞で与えられるのは公式ですよね。

e^(2kπ/n)i　だと思います。(k=0,1,・・・,n-1)
つまり、
cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)
です。

複素数の問題は、
z=r(cosθ+isinθ)=r*e^(iθ)
と置くのが定石です。

１番なら、
z^3
=(r^3)*(cosθ+isinθ)^3
=(r^3)*(cos3θ+isin3θ)
および、
8=(2^3)*(cos0+isin0)
より、
r=2,3θ＝0+2kπ (k:整数）
なので、（ここで2kπを忘れないようにしましょう）
θ=2kπ/3です。
k=0,1,2とおけば全てのzを表わせるので、（k=n+3はk=nと同じ)
z=2(cos(2kπ/3)+isin(2kπ/3))
に対して、k=0,1,2を代入して、cos,sinを数値に直せば、
z=2,－1±i√3
　が求められます。

２の場合も同様に
z=r(cosθ+isinθ)
とおいて計算すれば、
r=1,θ=(π/6)+(2kπ/6)　(ただしk=0,1,...,5)
となり、
±（√3＋ｉ）/2、±ｉ、±（－√3＋ｉ）／2
が求められます。

お礼

とってもわかりやすい説明ありがつございます。
納得しました。
範囲が広いのでがんばります。
ありがとうございました。

回答No.1

Rossana

オイラーの公式を扱っているので高校生の方じゃないですよね？？
1のn乗根は
e^i(2πk/n)
です。iが抜けていますよ。
何が分からないのかもう少し具体的におっしゃって頂けませんか？

お礼

複数の答え出せないでいたのですが、上のかたの説明でなんとかなりそうです。
続けて勉強します。
ありがとうございました。