留数を求める問題

質問

留数を求める問題

行き詰った問題が数問あるので質問させていただきます；；
有理型関数の極での留数を求める問題です。

(1) f(z)=1/(z^2+a^2)^2

　z=±iaで1位の極を持つ
　Res[f(z),ia]=lim[z→ia]1/(n-1)! d^(n-1)/dz^(n-1)*(z-ia)^n/(z^2+a^2)^n
　=lim[z→ia]1/(n-1)! d^(n-1)/dz^(n-1)*1/(z+ia)^n

　ここまでやりましたがｎを含んだ微分で詰まってしまいました。
　ここまで合っていますか？

(2) f(z)=πcot(πz)

　f(z)=π/tan(πz)　で
　z=nで1位(?)の極を持つ。とすると、

　Res[f(z),n]=lim[z→n] π(z-n)/tan(πZ)
　となり、これ以降の計算がわかりません･･･；；

(3) f(z)=z^2/(z^4+a^4)
　これに関しては極も求められません(泣)

以上の3問がどうしても解けませんでした。
解法を教えていただけると助かります。
どうかよろしくお願いします。困っています；；

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#2,#3です。

A#3の補足質問の回答

>n=2のときRes[f(z),ia]=-2i/(2a)^3
>n=3のときRes[f(z),ia]=1/2! lim[z→ia] d^2/dz^2 1/(z+ia)^3
　=(1/2!) lim[z→ia] (d/dz)^2 1/(z+ia)^3
or
=(1/2!) lim[z→ia] d^2 {1/(z+ia)^3}/dz^2

>=1/2! lim[z→ia] 3*4/(z+ia)^5
=(1/2!) lim[z→ia] 3*4/(z+ia)^5
>=-3*4i/2!(2a)^5 =-i4!/{(2!)^2*(2a)^5}
=-3*4i/{2!(2a)^5} =-i(4!)/{(2!)^2*(2a)^5}

>n=4のときRes[f(z),ia]=1/3! lim[z→ia] d^3/dz^3 1/(z+ia)^4
Res[f(z),ia]=(1/3!) lim[z→ia] (d/dz)^3 1/(z+ia)^4
>=1/3! lim[z→ia] -4*5*6/(z+ia)^7
=1/(3!) lim[z→ia] -4*5*6/(z+ia)^7
>=-4*5*6*i/3!(2a)^7 =-i6!/{(3!)^2*(2a)^7}
=-4*5*6*i/{(3!)(2a)^7} =-i(6!)/{(3!)^2*(2a)^7}
>よってn=nでは
>Res[f(z),ia]=-i(2n-2)!/{(n-1)!^2*(2a)^(2n-1)}
Res[f(z),ia]=-i{(2n-2)!}/[{(n-1)!}^2*(2a)^(2n-1)]
>でしょうか？
細かな所を直せば、合っていますね。
Res[f(z),ia]=-i{(2n-2)!}/[{(n-1)!}^2*(2a)^(2n-1)]

式の仕方次第で多少、式の形が変わるかと思います。

お礼

ご丁寧に教えていただきありがとうございました！
よく分かり、本当に助かりました。

回答No.3

info22_

>(1)で問題に誤りがありました；；
>1番の問はf(z)=1/(z^2+a^2)^ｎでした。
>n乗のためn位の極となり、計算がわからないのです；；

問題が間違っていたなら、それについて新たに何かやってみましたか？
nを一般論で最初からやろうとするところに無理があります。
まったくの他力本願の丸投げをしないで、少なくともn=2までわかっている（A#2でn=2の場合は書き済み）なら、
n=3,4,5,6, ...と留数を計算してみて、n=3以上の場合の一般のn乗の場合の留数を求める方法や、n乗から(n+1)乗にnを増やしたことに留数の変化から一般のn乗を求める方法などの取り組みをまずやってみてください。
その取り組みの上でわからないことがあれば、途中計算を補足に書いて質問ください。

補足

頼ってしまいすみません。nを代入してみました。
n=2のときRes[f(z),ia]=-2i/(2a)^3
n=3のときRes[f(z),ia]=1/2! lim[z→ia] d^2/dz^2 1/(z+ia)^3
=1/2! lim[z→ia] 3*4/(z+ia)^5
=-3*4i/2!(2a)^5 =-i4!/{(2!)^2*(2a)^5}
n=4のときRes[f(z),ia]=1/3! lim[z→ia] d^3/dz^3 1/(z+ia)^4
=1/3! lim[z→ia] -4*5*6/(z+ia)^7
=-4*5*6*i/3!(2a)^7 =-i6!/{(3!)^2*(2a)^7}
よってn=nでは
Res[f(z),ia]=-i(2n-2)!/{(n-1)!^2*(2a)^(2n-1)}
でしょうか？
やってみたらそれっぽくはなりました！

回答No.2

info22_

(1)
>ここまでやりましたがｎを含んだ微分で詰まってしまいました。
今の場合公式でn=2として計算して下さい。

>z=±iaで1位の極を持つ

>Res[f(z),ia]
> =lim[z→ia]1/(n-1)! d^(n-1)/dz^(n-1)*(z-ia)^n/(z^2+a^2)^n
>　=lim[z→ia]1/(n-1)! d^(n-1)/dz^(n-1)*1/(z+ia)^n

n=2とすれば
Res[f(z),ia]=lim[z→ia] d/dz (z-ia)^2/(z^2+a^2)^2
　=lim[z→ia] d/dz 1/(z+ia)^2
　=lim[z→ia] -2/(z+ia)^3
=-2/(2ia)^3=-i/(4a^3)
同様に
Res[f(z),-ia]=lim[z→-ia] d/dz (z+ia)^2/(z^2+a^2)^2
　=lim[z→-ia] d/dz 1/(z-ia)^2
　=lim[z→-ia] -2/(z-ia)^3
=-2/(-2ia)^3=i/(4a^3)
とすれば良いでしょう。
せっかく習った公式も使えないと役に立たないですよ。

(2)
tan(πz)=0　つまり　z=n（n=0,±1,±2, ,,,)が極になりますね。

> f(z)=π/tan(πz)　で
>　z=nで1位(?)の極を持つ。
> とすると、
z=n（n=0,±1,±2, ,,,)が1位の極かは
lim[z→n] π/tan(πz)　
がtan(nπ)=0なので、発散する。
かつ
lim[z→n] π(z-n)/tan(πz)
　=lim[z→n] πcos(πz){(z-n)/sin(πz)}
　=πcos(nπ)lim[z→n] 1/{πcos(πz)} (ロピタルの定理適用)
　=1　（n=0,±1,±2, ,,,）　…（●)
が収束することから、「一位の極である」ことがわかります。
同時に(●)が求める留数になっていますね。

(3)
f(z)=z^2/(z^4+a^4)
=(1/2){1/(z^2+ia^2}+(1/2){1/(z^2-ia^2}
=(1/4)[1/{(z+(a/√2)(1-i)}+1/{(z-(a/√2)(1-i)}]
+(1/4)[1/{(z+(a/√2)(1+i)}+1/{(z-(a/√2)(1+i)}]
なので
Res[f(z),-(a/√2)(1-i)]=Res[f(z),(a/√2)(1-i)]
=Res[f(z),-(a/√2)(1+i)]=Res[f(z),(a/√2)(1+i)]=1/4

補足

詳しい回答ありがとうございます。
(1)で問題に誤りがありました；；
1番の問はf(z)=1/(z^2+a^2)^ｎでした。
n乗のためn位の極となり、計算がわからないのです；；

これについてもできればお願いいたします･･･

回答No.1

KitCut-100

今晩は、今日も寒いですね。
ちょと回答させていただきます。留数の基本的な考え方ですが、それは1/zまたは1/(z-a)の係数を求めることです。1/z以外の次元の積分はすべて０になりますので結局 1/z or 1/(z-a)の係数を求めることです。

(1) f(z)=1/(z^2+a^2)^2 です。この式でたとえばz=aiの 留数を求めます。
つまり 1/(z-ai)の係数を求めるだけのことです。
ところで一般には
f(z)= ......+ α/(z-ai)^n +β/(z-ai)^(n-1) ,,,, γ/(z-ai)1+θ+e*(z-ai)+ υ*(z-ai)^2,,,,,,
のようなりますが、与式より

f(z)= a/(z-ai)^2+b/(z-ai)+c+d*(z-ai)+................
と表現できます。

ここでもとめるのは結局子この表現でのｂです。
さてこの式に(z-ai)^2をかけると
(z-ai)^2*f(z)= a+b*(z-ai)+c*(z-ai)^2+........
この式でｂを求めるために微分します。
すると
d[(z-ai)^2*f(z)]/dz = b +2c*(z-ai)+,,,,,,,,,
この式の左辺はまだ計算していませんが、この式でｚ＝aiを代入すれば
ｂがもとまります。

さて左辺を計算します。
(z-ai)^2*f(z)= 1/(z+ai)^2 ですので
d[(z-ai)^2*f(z)]/dz= -2/(z+ai)^3 となります。このｚに z=aiを代入すると

-2*/(ai+ai)^3 = -2/(2ai)^3= -1/4*( a^3)*i

となります。 つまり b=-1/4*( a^3)*i です。またこれが答えの留数です。

この問題を解くために必要な知識は、与式を 極を中心として展開したときに
その次数の最も低いものが何であるかを見極めること。今回の場合は
1/(z-ai)^2 です。
それがわかれば、次に 1/(z-ai)の係数を求めるために適宜微分の知識を
利用することです。 ポイントは展開です。

すみませんが後の問題は、時間がないのでまた。

お礼

早速の回答ありがとうございます。
(1)で問題に誤りがありました；；
1番の問はf(z)=1/(z^2+a^2)^ｎでした。
n乗のためn位の極となり、計算がわからないのです；；
また、お忙しいところ留数の基本を教えていただきありがとうございました。