複素積分の問題について

質問

「g(z)=1/(e^z+1)(z-1)^2を複素平面上で原点を中心とする一辺2R=4πN(Nは自然数)の正方形を反時計回りに回る積分経路Cで周回積分したものをN→∞とするとその値が0になることを示せ。」という問題で、N→∞をする前の答えは-2πi{e/(e+1)^2+Σk=1～N 1/(+-i(2k-1)π-1)^2}となるのですが、そのあとはどのようにすればよいのでしょうか。どなたか教えてください。

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

g(z)=1/[{1+(e^z)}(z-1)^2]

∀ε>0
→∃自然数n_0>4/(επ)
∀自然数n>n_0
原点を中心とする一辺
2R=4nπの正方形を反時計回りに回る積分経路をC_n
C(n1)={z=R+iy|-R≦y≦R,正方形の右辺を下から上へ}
C(n2)={z=x+iR=x+i2nπ|R≧x≧-R,正方形の上辺を右から左へ}
C(n3)={z=-R+iy|R≧y≧-R,正方形の左辺を上から下へ}
C(n4)={z=x-iR=x-i2nπ|-R≦x≦R,正方形の下辺を左から右へ}
とすると

-R≦y≦Rのとき
|1+(e^{R+iy})|≧||e^{R+iy}|-1|=|(e^R)-1|>R
|(R+iy-1)^2|=(R-1)^2+y^2≧(R-1)^2>R
|1+(e^{R+iy})||(R+iy-1)^2|>R^2
1/|{1+(e^{R+iy})}{(R+iy-1)^2}|<1/R^2
だから
|∫_C(n1)gdz|
=|∫_{-R～R}1/[{1+(e^{R+iy})}(R+iy-1)^2]dy|
≦∫_{-R～R}1/|{1+(e^{R+iy})}{(R+iy-1)^2}|dy
<∫_{-R～R}(1/R^2)dy=2R/R^2=2/R

-R≦x≦Rのとき
|1+(e^{x+i2πn})|=|1+(e^x)|>1
|(x+iR-1)^2|=(x-1)^2+R^2≧R^2
|1+(e^{x+i2πn})||(x+iR-1)^2|>R^2
1/|{1+(e^{x+i2πn})}{(x+iR-1)^2}|<1/R^2
だから
|∫_C(n2)gdz|
=|∫_{R～-R}1/[{1+(e^{x+i2πn})}(x+iR-1)^2]dx|
≦∫_{R～-R}1/|{1+(e^{x+i2πn})}{(x+iR-1)^2}|dx
<∫_{R～-R}(1/R^2)dx=2R/R^2=2/R

-R≦y≦Rのとき
|1+(e^{-R+iy})|≧|1-e^{-R}|>|1-{1/(R+1)}|=R/(R+1)
|(-R+iy-1)^2|=(R+1)^2+y^2≧(R+1)^2
|1+(e^{-R+iy})||(-R+iy-1)^2|>R(R+1)>R^2
1/|{1+(e^{-R+iy})}{(-R+iy-1)^2}|<1/R^2
だから
|∫_C(n3)gdz|
=|∫_{R～-R}1/[{1+(e^{-R+iy})}(-R+iy-1)^2]dy|
≦∫_{R～-R}1/|{1+(e^{-R+iy})}{(-R+iy-1)^2}|dy
<∫_{R～-R}(1/R^2)dx=2R/R^2=2/R

-R≦x≦Rのとき
|1+(e^{x-i2πn})|=|1+(e^x)|>1
|(x-iR-1)^2|=(x-1)^2+R^2≧R^2
|1+(e^{x-i2πn})||(x-iR-1)^2|>R^2
1/|{1+(e^{x-i2πn})}{(x-iR-1)^2}|<1/R^2
だから
|∫_C(n4)gdz|
=|∫_{R～-R}1/[{1+(e^{x-i2πn})}(x-iR-1)^2]dx|
≦∫_{R～-R}1/|{1+(e^{x-i2πn})}{(x-iR-1)^2}|dx
<∫_{R～-R}(1/R^2)dx=2R/R^2=2/R

|∫_{C_n}g(z)dz|
=|∫_C(n1)gdz+∫_C(n2)gdz+∫_C(n3)gdz+∫_C(n4)gdz|
≦|∫_C(n1)gdz|+|∫_C(n2)gdz|+|∫_C(n3)gdz|+|∫_C(n4)gdz|
<(2/R)+(2/R)+(2/R)+(2/R)
=8/R
=4/(nπ)
<4/(n_0π)
<ε

∴
lim_{N→∞}∫_{C_N}g(z)dz=0

g(z)=1/[{1+(e^z)}(z-1)^2]
の特異点は
z=i(2k-1)π,(kは自然数)
z=1
で
C上の点zは
z=2nπ±iy≠1
z=x±i2nπ≠i(2k-1)π
なので
C上に特異点は存在しない

Cで囲まれた領域の内部に特異点があっても
積分が0となる場合もある
例)
f(z)=1/{z(z-1)}
∫_{|z|=2}f(z)dz
=∫_{|z|=2}{1/{z(z-1)}dz
|z|<2で
f(z)の特異点はz=0,z=1
lim_{z→0}zf(z)=lim_{z→0}1/(z-1)=-1
lim_{z→1}(z-1)f(z)=lim_{z→0}1/z=1
∫_{|z|=2}f(z)dz=2πi(1-1)=0

お礼

懇切丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.1

muturajcp

g(z)=1/[{1+(e^z)}(z-1)^2]

∀ε>0
→∃自然数n_0>8/(επ)
∀自然数n>n_0
原点を中心とする一辺
2R=4nπの正方形を反時計回りに回る積分経路をC_nとする
|∫_{C_n}g(z)dz|
=
|∫_{-R～R}1/[{1+(e^{R+iy})}(R+iy-1)^2]dy
+∫_{R～-R}1/[{1+(e^{x+i2πn})}(x+iR-1)^2]dx
+∫_{R～-R}1/[{1+(e^{-R+iy})}(-R+iy-1)^2]dy
+∫_{-R～R}1/[{1+(e^{x-i2πn})}(x-iR-1)^2]dx|
≦[8/(R^2)]+(2/R)+(4/R)+(2/R)
≦16/R
=8/(nπ)
<8/(n_0π)
<ε
∴
lim_{N→∞}∫_{C_N}g(z)dz=0

お礼

回答ありがとうございます。質問があるのですが、計算過程の[8/(R^2)]+(2/R)+(4/R)+(2/R)はどのようにして求められたのでしょうか。また、閉区間Cの中に特異点があるにも関わらず、周回積分が0になるのはなぜでしょうか。