複素関数

質問

複素関数

○１のｎ乗根が
Ｚｋ＝cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)
というのは分かるのですが、何でこうなるのかがいまいちよく分かりません。
分かりやすい説明をよろしくお願いします。

○Im((z-a)/(b-a))=0
の点ｚの軌跡はどういう風に求めるのでしょうか？
他にも軌跡を求めたいので、よろしくお願いします。

○べき乗根の微分の求め方がよく分かりません。
これも分かりやすい解説をおねがします

ひとつでもいいので答えてください。
すごく困っています。お願いします。

回答No.1

OKXavier · ベストアンサー

ヒントです。

＜１のｎ乗根＞
（１）1=cos(2kπ)+isin(2kπ)
（２）１のｎ乗根が)=1^(1/n)
（３）ド・モアブルの定理の適用
この順番で考えます。

＜Im((z-a)/(b-a))=0＞
Im((z-a)/(b-a))=0
ということは、(z-a)/(b-a)の虚部が０。
この値をt　とおくと、
(z-a)=t(b-a)
Z=a+t(b-a)
この軌跡を考える。

＜べき乗根の微分＞
aのm乗根は、a^(1/m)
と書けるから、微分の公式を適用すればいい。
教科書に必ず公式が載っています。

お礼

ありがとうございました

回答No.2

178-tall

>... Im((z-a)/(b-a))=0　の点ｚの軌跡はどういう風に求めるのでしょうか？

これが一番メンドーそうですね。
　Im{(z-a)/c} = 0
で考えてみましょう。

まず、c = 0 の場合は除外。
c≠0 ならば、
　a = r + is
　c = p + iq
とすれば、c の共役を c~ 、z = x + iy として、
　(z-a)/c = (z-a)c~/|c|^2
その分子、
　(z-a)c~ = {(x-r) + i(y-s)}(p-iq) = {p(x-r) + q(y-s)} + i{p(y-s) - q(x-r)}
その虚部が零、
　{p(y-s) - q(x-r)} = 0

このあと、p, q について零・非零の場合わけ…。
と続くのでしょうか？

お礼

ありがとうございました